行程问题思维刘有珍行程问题归纳总结.doc

行程问题思维刘有珍行程问题归纳总结
解题思路
1个核心公式：路程＝速度×时间
2个基本题型：相遇即合作，路程和＝速度和×时间；
追及即干扰，路程差＝速度差×时间；
6种常见方法：图示法、公式法、比例法、赋值法、方程法、代入法
8个行程模型：火车过桥、火车运动、队伍行进、往返相遇、等距离运动、等间隔发车、 无动力漂流、流水行船
精细备考 考点1：基本公式法 方：题干中等量关系明显，一般结合方程法，依据核心公式直接解题，方程往往围绕路程或时间展开。
【例题1】（广州2012－84）甲公司的马经理从本公司坐车去乙公司洽谈，以30千米/时的速度出发20分钟后，马经理发现文件忘带了，便让司机以原来1.5倍的速度回甲公司拿，而他自己则以5千米/时的速度步行去乙公司。结果司机和马经理同时到达乙公司。甲乙两公司的距离是（ ）千米。
A. 12.5 B. 13 C. 13.5 D. 14
［答案］A
［解析］20分钟的路程为30×1/3=10千米，设马经理步行的总距离为x，则，解得x=2.5（千米），因此两地的距离为12.5千米，答案选择A。
【例题2】（深圳2012－6）小强从学校出发赶往首都机场乘坐飞机回老家，若坐平均速度40千米/小时的机场大巴，则飞机起飞时他距机场还有12公里；如果坐出租车，车速50千米/小时，他能够先于起飞时间24分钟到达，则学校距离机场（ 公里。
A. 100 B. 132 C. 140 D. 160
［答案］C
［解一］24分钟＝0.4小时，假设学校距离机场的距离为s，则，解之可得s=140。答案选择C。
［解二］12公里所需的时间为12÷40=0.3小时，24分钟=0.4小时。两次速度比为4:5，路程一定，因此时间比为5:4，两次的时间差为0.7小时，进而得到第一次所需时间为5×0.7=3.5小时，从而可以得到学校距离机场的距离为40×3.5=140公里。
【例题3】（贵州2012－41）某部队从驻地乘车赶往训练基地，如果车速为54公里/小时，正好准点到达；如果将车速提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到；如果将车速提高1/3，可比预定的时间提前多少分钟赶到？（ ）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
［答案］C
［解析］54公里/小时=0.9公里/分钟，设准点达到的时间为t，则有：0.9t=1×（t－20）,解得t=200（分钟），所以总路程为0.9×200=180（公里）。如果将车速提高1/3，则车速为0.9+0.9×1/3=1.2（公里/分钟），需要时间为180÷1.2=150（分钟），比预定的时间提前200－150=50（分钟）。

【例题5】（北京2013-77）甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（ ）
A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200
[答案]C
[解析]第一次相遇距离出发点150米，跑的快的人跑了250米，跑的慢的人跑了150米，设速度分别为250米/分、150米/分，同时同地同向出发，快的追上慢的是追及问题，路程差为400米，则追及时间为400÷（250－150）＝4分钟，进而得到速度快的路程为250×4＝1000米，答案选择C。
考点2：相遇追及问题
相遇：主要指迎面相遇，相遇问题研究路程和与速度和之间的关系
追及： 主要指追及相遇，追及问题研究路程差和速度差之间的关系
【例题6】（浙江2011-53）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务，甲车单独清扫需要6小时，乙车单独清扫需要9小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米，问东、西两城相距多少千米？
A.60千米 B.75千米 C.90千米 D.135千米
[答案]B
[解析]已知甲车和乙车的时间，可以设两地的路程为18，则甲速＝3，乙速＝2，则相遇时间＝18÷（3＋2）＝3.6小时，相遇时甲乙的路程差＝（3－2）×3.6＝3.6，3.6＝15千米，所以两地相距18÷3.6×15＝75千米。答案选择B。
【例题7】(江苏2013C-31)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进。如果每人以一定的速度前进，4小时相遇；如果各自每小时比原计划少走1千米，5小时相遇。则甲乙两地的距离是？（ ）
A.40千米 B.20千米 C.30千米 D.10千米
[答案]A
[解析]设甲乙原定速度和为x，则两次相遇所走路程和不变，即4x=5（x-2），解得x=10，进而可得两地的距离为4×10＝40，答案选择A。
【例题8】（陕西2013-76）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的4倍，甲用时15分钟到达B地后立即返回，甲乙第二次相遇后，乙再走（ ）分钟才能到达A地。
A.40 B.30 C.45 D.33.3
[答案]A
[解析] 设乙的速度是1，甲的速度为4，则A、B两地相距60，乙到达A地需要60分钟，结合题干可知，甲、乙第二次相遇是甲追上乙的追及相遇，即路程差为60，所以追及时间为60÷（4－1）＝20分钟，乙还需要40分钟，答案选择Ａ。
思维小节
速度单位换算：小乘大除
1千米/小时＝米/秒，1米/秒＝3.6千米/小时，即“小变大乘以3.6，大变小除以3.6”
【例题9】（河北2013-43）一只猎豹锁定了距离自己200米远的一只羚羊，以108千米／小时的速度发起进攻，2秒钟后，羚羊意识到危险，以72千米／小时的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多少路程？（ ）

A. 520米 B. 360米 C. 280米 D. 240米
[答案]C
[解析]猎豹速度为30米/秒，羚羊速度为20米/秒，2秒钟后，猎豹的路程为60米，距离羚羊140米，进而可以得到追及时间为140÷（30－20）＝14秒，所以羚羊跑了14×20=280米。答案选择C。
【例题10】（山东2013-55）甲乙两地相距20公里，小李、小张两人分别步行和骑车，同时从甲地出发沿同一路线前往乙地，小李速度为4.5公里/小时，小张速度为27公里/小时。出发半小时后，小张返回甲地取东西，并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地。问小张追上小李时，两人距离乙地多少公里？
A.8.1 B.9 C.11 D.11.9
[答案]D
[解析]小张从第一次从甲地出发到第二次从甲地出发共1.5小时，这1.5小时期间，小李一直在行走，所以可以转化成小李出发1.5小时后，小张才开始出发的追及问题。设小张追上小李需要x小时， （27－4.5）x=4.5×1.5，解得x=0.3，距离乙地20－27×0.3=11.9（公里）。答案选择D。
考点3：重点模型
模型1：队伍行进模型
队尾→队首：追及问题，S队伍＝速度差×时间＝（v1－v2）t
队首→队尾：相遇问题，S队伍＝速度和×时间＝（v1＋v2）t
【例题11】（安徽2012－64）一支600米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长联系，他用3分钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了2分24秒，如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间? （ ）
A. 48秒 B. 1分钟 C. 1分48秒 D. 2分钟
［答案］D
［解析］设通讯员的速度为，队伍的速度为，2分24秒=2.4秒，由题意列方程有： ，解得=250（米/分钟），=50（米/分钟），则返回队尾所需时间为=2（分钟），答案选择D。
模型2：火车过桥
火车过桥：路程＝桥长＋车长，即火车过桥路程包含两部分
【例题12】（联考2012秋－47）某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需35秒，而轿车过桥的时间是动车的3倍，已知该动车的速度是每秒70米，轿车的速度是每秒21米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）？（ ）
A. 120米 B. 122.5米 C. 240米 D. 245米
［答案］D
［解析］假设动车长是x，桥长为y，则，解之可得x=35×7=245（米），答案选择D。
模型3：火车头尾错离型
反向错离型：路程和＝快车车长＋慢车车长
【例题13】（浙江2011-51）一列客车长250米，一列货车长350米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过15秒，已知客车与火车的速度比是5︰3，问两车的速度相差多少？
A.10米/秒 B.15米/秒 C.25米/秒 D.30米/秒
［答案］A
［解析］反向错离题型，则两车的速度和＝（250＋350）÷15＝40米/秒，设客车的速度是5，火车的速度是3，速度和为8＝40米/秒，则速度差2＝10米/秒，答案选择A。
模型4：往返相遇型
往返相遇：1）迎面相遇n次，则路程和为（2n－1）个全程；2）往返相遇问题中，每个人的路程与路程和按照同样的比例变化。如第1次相遇路程和为1个全程，第2次相遇路程和为3个全程，则其中的每个人路程变为第1次相遇时路程的3倍。
【例题14】（联考2013春-45）小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？（ ）
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
[答案]B
[解一]由题意，两人从同地出发，则第一次相遇时两人的路程和为2个全程，设其中小张走了x，小王走了y；第二次相遇时两人走了4个全长，小张走了2y，小王走了x-y；由比例法，解得x=2y，故两人的速度比为2∶1。答案选择B。
【例题15】（深圳2012－17）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的2/3，两人相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000米，求A、B两地的距离是（ ）米。
A. 6000 B. 6500 C. 7000 D. 7500
［答案］D
［解析］设两地的距离为s米，第二次相遇共走了3s米，甲速：乙速=3:2，第一次相遇时甲的路程为3/5s米，第二次相遇时甲的总路程为9/5s米，因而两次相遇的地点相距2/5s米，所以两地相距3000÷2/5=7500米，答案选择D。
模型5：等距离运动
等距离运动：平均速度；
特征：“等距离”、“上下坡运动”、“往返”等字眼
【例题17】（北京2014-76）某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60公里的速度前进；而在后一半的路程中，以每小时120公里的速度前进。则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少公里？
A.60 B.80 C.90 D.100
[答案]B
[解析]“前一半，后一半”等距离运动，，答案选择B。
模型6：无动力漂流
无动力漂流：漂流时间，其中t1为逆流时间，t2为顺流时间；
【例题18】（四川2012－14）一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要5个小时，以同样的功率从乙地开往甲地需要6个小时。如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间？（ ）
A. 5小时 B. 15小时 C. 30小时 D. 60小时
［答案］D
［简析］根据公式，，答案选择D。
模型7：等间隔发车
1）发车时间，其中t1为迎面相遇时间，t2为反向追及时间；
2）等间隔发车问题本质上是等距离的相遇问题和追及问题，其中路程和＝路程差＝等间隔距离
【例题19】（重庆秋季2013-93）为了保持赛道清洁，每隔10分钟会有一辆清扫车从起点出发，匀速清扫赛道。甲、乙两名车手分别驾驶电动车和自行车考察赛道，甲每隔5分钟追上一辆清扫车，每隔20分钟有一辆清扫车追上乙，问甲的速度是乙的多少倍？（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[答案]D
[解析]设甲的速度是x，乙的速度是y，清扫车的速度为1，清扫车之间的距离是不变的，即追及的路程差不变，进而可得：，解得x＝3，y＝0.5，即甲速是乙速的6倍。答案选择D。
模型8：流水行船模型→顺速＝船速＋水速，逆速＝船速－水速
【例题20】（四川2013秋季-54）一艘货船，第一次顺流航行420千米，逆流航行80千米，共用11小时;第二次用同样的时间顺流航行了240千米，逆流航行了140千米。问水流速度是多少千米/小时?
A.12 B.16 C.20 D.24
[答案]C
[解析]分析题干可知，顺流减少了180千米，逆流增加了60千米，时间不变，即顺流3千米时间＝逆流1千米时间，进而可以得到，11小时＝660千米顺流＝220千米逆流，也就是说，顺速＝60千米/小时，逆速＝20千米/小时，水速＝（60－20）÷2＝20千米/小时。答案选择C。

华图刘有珍