南通市2014届高三第一次调研测试数学(word版,含答案).doc

南通市2014届高三第一次调研测试
数 学 试 题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合U{1，2，3，4，5}，A{1，2，4}，则 ▲ ．
2．已知复数，(为虚数单位)．在复平面内，对应的点在第 ▲ 象限．
3．命题：“，”的否定是 ▲ ．
4．在平面直角坐标系中，抛物线上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．
输入x

N
Y
结束
（第6题）
开始
输出y
5．设实数，满足则的最大值是 ▲ ．

6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是 ▲ ．
7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：
城市
空气质量指数(AQI)
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
甲
109
111
132
118
110
乙
110
111
115
132
112
则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．
8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．
9． 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于 ▲ ．
10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an(S4m+1)］=9，则+的最小值是 ▲ ．
11．若向量，，且，则的值是 ▲ ．

12．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是 ▲ ．
13．已知集合M=≤y≤，N=≥，则表示M∩N的图形面积等于 ▲ ．
14．若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数、，使得8成立，则实数的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，在四棱柱中，，，且．
A1
B1
C1
C
D
A
B
D1
（第15题）
（1）求证：∥平面；
（2）求证：⊥平面．

16．(本小题满分14分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=．
（1）求tanB的值；
（2）若，求△ABC的面积．

17．(本小题满分14分)
已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－+1．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

18．(本小题满分16分)
如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)， AD∥EF，且点A、D在上，设∠AOD=．
（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；
（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos的值．

（第18题）
M

F
O
E
·

19．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点，且，．
（第19题）
A
B
C
D
x
P
y
·
O
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率．

20．(本小题满分16分)
已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：
第1次从数列{an}中取a1，
第2次从数列{bn}中取b1，b2，
第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，
第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，
……
第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，
第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，
……
由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n和为Sn．求满足Sn＜22014的最大正整数n．

数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】
A． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）
在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN2AM．
（第21—A题）
A
B
C
M
N

O
求证：ABAC．

B． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
设二阶矩阵，满足，，求．

C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知曲线：，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，，求直线的方程．

D．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）
已知x，y，z均为正数，求证：．

【必做题】
22．（本小题满分10分）
如图，设，，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量．

（第22题）

P1
（1）求的概率；
（2）求的分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）
已知12，…，满足下列性质T的排列，，…，的个数为（n≥2，且n∈N*）．
性质T：排列，，…，中有且只有一个（{1，2，…，}）．
（1）求；
（2）求．

南通市2014届高三第一次调研测试
数学试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1.{3，5}． 2.二． 3.，． 3. 3． 4. 7． 5. ． 6. 乙．
7. ． 8. ． 9.． 11．1． 12.． 13．.． 14．8．
A1
B1
C1
C
D
A
B
D1
（第15题）
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
（1）证明：在四棱柱中，，
平面，
平面，
所以平面． ……………………………………………………………………6分
（2）证明：在四棱柱中，四边形为平行四边形，又，
故四边形为菱形．
从而．…………………………………………………………………………… 9分
又，而，平面，
所以平面． ………………………………………………………………… 14分
16．(本小题满分14分)
（1）解：由正弦定理，得 ，………………………………………………2分
即．
所以．
从而．
因为，所以．……………………………………………………4分
又，由（1）知，，
解得．………………………………………………………………………………6分
（2）解：由（1），得 ，，．………………………10分
由正弦定理，得．………………………………………12分
所以△ABC的面积为．……………………14分
17．(本小题满分14分)
（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．
f ′(x)＝2＋，令f ′(x)＝0，得x＝－a． ………………………………………2分

①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增．……………… 4分
②当a＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )是单调递增．
x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．…… 6分
综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；
当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．… 7分
（2）解：因为f(x)为奇函数，
所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－＋1)＝2x＋ －1．……………… 9分
①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋ ≥a对一切x＞0成立．
而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．
所以a＜0不成立．………………………………………………………………………11分
②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．…12分
③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a ，+∞)是增函数．
所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求．………………… 13分
综上所述，a的取值范围是．………………………………………………… 14分

①
M
·
18．(本小题满分16分)

（第18题）
M

F
O
E
·

（1）解：设矩形铁片的面积为，．
当时（如图①），，，
．…………………………… 3分
当时（如图②），，，
故．
综上得，矩形铁片的面积S关于的函数关系式为
……………………………………………………… 7分
（2）解：当时，求导，得
．
令，得．…………………………………………………………… 10分
记区间内余弦值等于的角为（唯一存在）．列表：

0

增函数
极大值
减函数
又当时，在上的单调减函数，
（第19题）
A
B
C
D
x
P
y
·
O
所以当即时，矩形的面积最大．………………………………… 16分
19．(本小题满分16分)
（1）解：依题意，解得
所求椭圆的方程为． ………………………………… 6分
（2）解：设，则．
由，得．…………………………………………… 8分
代入椭圆方程，得．
整理，得，…………………………………………… 10分
即． ③ ……………………………………… 12分
设，同理可得． ④ ……………………………………… 14分
③④，得，即直线AB的斜率为．……………… 16分
20．(本小题满分16分)
（1）解：设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，
依题意，得 解得a1=d=1，b1=q=2．
故an=n，bn=2n．…………………………………………………………………………… 6分
（2）解：将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，……以此类推，则第n组中，有2n－1项选取于数列{an}，有2 n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}有n2＋n项选取于数列{bn}，记它们的总和为Pn，并且有． ………… 11分
，
．
当＋（2＋22＋…＋22012）时，
．………………………………………………… 13分
当＋（2＋22＋…＋22013)时，
．
可得到符合的最大的n=452＋2012=4037．…………………………………… 16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准
21．【选做题】
C． 选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
（第21—A题）
A
B
C
M
N

O
证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，
所以 ① …………………………… 3分
又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，
所以，
即…………………………………… 6分
又BN=2AM，
所以 ②…………………………… 8分
由①②，得ABAC． ……………………… 10分
D． 选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
解：设，因为，…………………………………… 2分
所以，即…………………………………… 6分
解得所以．…………………………………………… 10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
解：设直线的方程为(ρ∈R)…………………………2分
则．…………………………………………………………… 5分
又，故． ……………………………………………………… 7分
解得+2kπ或+2kπ，k∈Z．
所以直线的方程为或 (ρ∈R)． …………………………………… 10分
D．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）
证明：因为x，y，z均为正数，所以．……………… 4分
同理可得，．…………………………………………… 7分
当且仅当xyz均时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，
得．……………………………………………………… 10分

（第22题）

P1
【必做题】
22．（本小题满分10分）
解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，
其中的为有一个角是的直角三角形（如△），共种，
所以． ………………… 3分
（2）的所有可能取值为，，．的为顶角是的等腰三角形（如△），
共6种，所以．…………………………………………… 5分
的为等边三角形（如△），共2种，所以．…… 7分
又由（1）知，故的分布列为

所以．……………………………………… 10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）当时，1，2，3的所有排列有，2，，，3，，，1，，，3，， ，1，，，2，，其中满足仅存在一个{1，2，3}，使得的排列有，3，，，1，，，3，，，1，，
所以．………………………………………………………………………… 3分
（2）在1，2，…，的所有排列，，…，中，
若，从个数1，2，3，…，中选个数按从小到大的顺序排列为，，…，，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，
于是满足题意的排列个数为．………………………………………… 6分
若，则满足题意的排列个数为．…………………………… 8分
综上，．

从而． ……………………… 10分

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