1、第2章 一元二次方程2.4 一元二次方程根与系数的关系【教学目标】知识与技能要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。过程与方法通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。情感、态度与价值观通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。【教学重难点】重点：一元二次方程
2、根与系数的关系难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。【导学过程】【知识回顾】解下列方程：2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0并根据问题2和以上的求解填写下表请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？【新知探究】1.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：_。2.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证
3、明若方程ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2。则x1+x2= ；x1. x2= 韦达是法国十六世纪最有影响的数 学家之一。第一个引进系统的代数符号， 并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习 法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（所以人们 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 韦达（15401603） 论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被
4、尊称为“代数学之 父”。3.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；当a0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；当a0时，=b2-4ac可判定根的情况；当a0，b2-4ac0时，x1+x2=，x1x2=。当a0，c=0时，方程必有一根为04.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _ （3）5x2+x-2=0 x1+x2= _ x1x2= _
5、（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _ x1x2= _【随堂练习】一、填空题1如果x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则x1+x2=_2一元二次方程两根的倒数和等于_3关于x的方程的根为，则p=_，q=_4若x1、x2是方程的两根，那么x12+x22= ，（x1-x2）2 5已知方程的两根之比为2，则k的值为_6已知为方程的两实根，则7方程与方程的所有实数根的和为_8关于x的方程的两个实数根同号，则a的取值范围是_二、选择题9已知a、b是关于x的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ）A B C D10以3和2为根的一元二次方程是（ ）A B C D11设方程的两根分别为x1，x2，
6、且，那么m的值等于（ ）A B2 C D12点P（a，b）是直线y=x+5与双曲的一个交点，则以a，b两数为根的一元二次方程是（ ）A B C D13已知两根之和等于两根之积，则m的值为（ ）A1 B1 C2 D2【知识梳理】通过这节课的学习，你有什么收获? 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特 别注意，方程有实根的条件，即在初中代数 里，当且仅当 b 2 ? 4ac ? 0 时，才能应 用根与系数的关系.【达标测评】1.已知、是方程x3=0的两个实数根，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、2.下列方程中两根之和是2的方程是（ ） A、+2x+4=0 B、2x4=0 C、+2x4=0 D、2x+4=03.若方程x2+px+2=0的一个根是2，则另一个根是 ，p= .4.写一个根为x=1，另一个根满足1x1的一元二次方程是 5.已知关于x的方程2x2pxq0的两个根是4和3，求p和q的值
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