1、2.2 圆的对称性
2.2 圆的对称性（2）
教学目标
1．会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；
2．能利用垂径定理进行相关的计算和证明；
3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，明白圆的问题依旧要化归为直线形问题解决．
教学重点
垂径定理的证明定理及其简单应用．
教学难点
垂径定理的证明定理．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
圆是什么对称图形？你是如何验证的？
学生先思考并操作验证，然后请学生交流．
学生可以得到：（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它
2、的对称轴．
通过本题既复习圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，同时又为学习轴对称性奠定基础．
实践探索一
圆的轴对称性．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？
2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！
1．思考并操作；
2．总结并交流，可以得到：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
3．学生先思考，再交流．
在引入的基础上进一步探究、归纳、总结，也为下面进一步探究奠定基础．
既是上面探究的结论运用，同时也是为下面垂径定理作好铺垫．
实践探索二
垂径定理．
1．操作、探索
学生拿出事先准备好的
3、透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）．沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？
图1 图2
2．请你用文字语言概括你对垂直于弦的直径的研究过程中发现的结论，其中条件和结论分别是什么？请用几何语言表示．
3．请证明你的发现．
1．操作；
2．观察；
3．猜想并交流：主要是从相等的线段和相等的弧入手考虑；
4．归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
5．垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个条件，(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直
4、线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧．
6．几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AM＝BM，＝，＝．
7．引导学生利用对称性和全等等方法证明．
鼓励学生自己动手实践探究．通过思考、探索，得出相应的结论并尝试说理．
让学生自己试着书写几何语言，培养学生严谨、规范的几何书写．
定理巩固训练
1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？
1．学生先独立思考，然后请同学说说自己的判断和依据，并请另外一名同学进行点评．
强化定理使用的条件，同时也对基本图形加深印象．
2．如图，⊙O直径CD与弦AB（
5、非直径）交于点M，
·
A
M
D
O
B
C
添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点．
2．学生先独立完成，然后请同学交流自己的想法．
（多让几个学生发言，培养学生的发散性思维．）
强化定理使用的条件．
例题精讲
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．
.
A
B
O
1．先独立思考，然后小组合作交流，弄清解决问题的思路．
可以引导学生分步思考：
（1）怎样求线段长？
（2）圆心O到AB的距离、半径、弦之间有什么关系？
强化垂径定理
6、的基本图形和常用辅助线——过圆心作弦的垂线．引导学生审题，学会分析问题，可以从已知条件出发，也可以从结论或要求解的未知量出发，将已知与未知联系起来．
例2 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？为什么？
2．先独立思考，然后板演展示，最后小组合作交流自己是如何思考的？
证明：过O作OP⊥AB，垂足为P，则 AP＝BP，CP＝DP．
AP－CP＝BP－DP，
即 AC＝BD．
例2是例1的拓展和延伸，要引导学生如何分析．
知识应用
1．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁
7、中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．
2．已知⊙O的直径50cm，弦AB∥CD，且AB＝40cm，CD＝48cm，求AB、CD之间的距离．
1．先独立思考并完成，然后板演交流，并说出自己的想法；
2．谈谈自己做完此类型的问题有什么策略和方法；
3．学生自己画图并解题，然后请学生说说自己的想法，最后小组讨论总结．
对垂径定理的基本图形进行强化，同时也培养学生分析问题和归纳总结的能力．
8、向学生渗透分类思想，培养学生分析问题的能力．
拓展延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，与相等吗？为什么？
1．每人先独立思考，然后小组交流讨论，最后请学生展示．
2．引导学生通过转化为熟悉的基本图形来尝试解决问题．
运用所学的知识解决较灵活的问题，关注解决问题的策略——添加辅助线，构造基本图形．
小结与反思
通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？
1．圆既是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆也是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴．
2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
引导学生总结本节课的学习内容，在知识与方法这两方面加以反思，使所学的知识更系统，活动经验更丰富．
课后作业
课本P49第5、6、7、8．
学生独立完成．
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