八年级数学新课预习：第一章第一节探索勾股定理教案北师大版知识精讲.doc

初二数学新课预习：第一章 第一节 探索勾股定理教案北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
新课预习：第一章：勾股定理
第一节：探索勾股定理

二. 教学要求
经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，掌握勾股定理，并能运用它解简单的计算题和实际问题，了解运用数形结合解决数学问题的重要性，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

三. 重点及难点
重点：勾股定理的应用，难点：勾股定理的验证。

四. 课堂教学
［知识要点］
1. 勾股定理
如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系即C的面积＝B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。

（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a，b是直角边，c是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
（3）除了利用a，b，c表示三边的关系外，还应会利用AB，BC，CA表示三边的关系，在△ABC中，∠B＝90°，利用勾股定理有。
2. 利用勾股定理的变式进行计算
由，可推出如下变形公式：
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）（平方根将在下一章学到）
说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。

【典型例题】
例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明。
分析：线段AN，BN，AC不构成直角三角形，所以不能直接利用勾股定理，故考虑转化，由于，而MC＝MB，故只需说明即可。

解：∵MN⊥AB，
∴，
∴
∵AM是中线，∴MB＝MC
在Rt△ABC中，
∴

例2. 如图所示，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，若AC＝4，BC＝3，求CD的长。
分析：此题可将CD放在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用勾股定理列方程求解，但比较复杂，如果把CD看作是AB边上的高，利用面积列方程求解就容易了。

解法1：设AD的长为x，
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，
∴
∴AB＝5，则DB＝AB－AD＝5－x
∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，
在Rt△BCD中，
∴，∴
∴，∴
解法2：∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°
∴，∴AB＝5
∵

∴
∴5CD＝12，∴CD＝

例3. 如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。

分析：已知的36米是AC与AB的和，若设AB为x米，则AC为（36－x）米，这样就可以利用勾股定理列方程求解了。
解：设AB＝x米，则AC＝（36－x）米
∵AB⊥BC，∴
∴
∴x＝10，∴折断处的高度AB是10米。

例4. 如图所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，每平方米地毯需50元，那么这块地毯需花多少元？

分析：从表面看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC，竖直方向的长度和为BC，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC，再求AC+BC即可。
解：在Rt△ABC中，
∴，∴AC＝4米
∴地毯的长度为AC+BC＝4+3＝7米
∴地毯的总面积为7×2＝14平方米
∴需花50×14＝700元

例5. 已知直角三角形的两边分别为3和4，求斜边。
错解：直角三角形的两直角边为3和4，斜边为5。
分析：凭经验出发，审题不仔细，认为3和4为两直角边，则斜边必然是5，忽略了题目中3和4是任意两边，因为4＞3，所以4也可以作为直角三角形的斜边。
解：当3和4为直角三角形的两直角边时，斜边为5。
当直角边为3，4为斜边时，第三条边也可求，故斜边为4。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题
1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25
2. 若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（ ）
A. 2∶3∶4 B3∶4∶6 C. 5∶12∶13 D. 4∶6∶7
3. Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A. 121 B. 120 C. 132 D. 不能确定
4. 如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A. 2n B. n+1 C. n2－1 D. n2+1
5. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
6. 三角形的三边长为（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
7. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）

A. 6cm2 B. 8cm2 C. 10cm2 D. 12cm2
8. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里

二. 填空题
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，①若a＝5，b＝12，则c＝___________；②若a＝15，c＝25，则b＝___________③若c＝61，b＝60，则a＝__________；④若a∶b＝3∶4，c＝10，则SRt△ABC＝________。
2. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
3. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

5. 在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。

三. 解答题
1. 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
3. 如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。利用这个图试说明勾股定理?

试题答案
一. 选择题
1. D 2. C 3. C 4. D
5. A 6. C 7. A 8. D

二. 填空题
1. 13 20 11 24
2. 3. 1.5 4. 49 5. 15

三. 解答题
1. 设离A站x千米，则有，解得x＝10
2. 根据题意设旗杆为x米，则有，解得x＝12
3. 根据题意大正方形的面积为：
阴影面积为，小正方形的面积为：，
阴影面积+小正方形面积＝大正方形面积，所以
即