1、第十一章 11.1.1三角形的边
知识点1：三角形的概念
(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.
(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.
(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C的三角形,记作“△AB
2、C”,读作“三角形ABC” .
另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB分别用b、c来表示.
归纳整理:我们通常数三角形的方法有:(1)按图形的形成过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).
(2)按照三角形的大小去数.
(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.
(4)先固定一个顶点,变化另两个顶点来数.
注意:通过三角形的定义可知,三角形的特征有:①三条线段;②不在同一条直线上;③首尾顺次相接.这是判断是否是三角形的标准.
知识点2：三角形的分类
(
3、1)三角形按边分类:三角形
(2)三角形按角的大小分类:三角形
(3)按边分类中各种三角形的关系:
归纳整理:(1)三边都不相等的三角形是不等边三角形,不等边三角形应该是指“三边都不相等”的三角形;有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;三边都相等的三角形叫做等边三角形.
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.
知识点3：三角形的三边关系
(1) 三角形任意两边之和大于第三边.
(2)三角形任意两边之差小于第三边.
归纳整理:(1)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这
4、三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可以求出第三边的取值范围.并且对于三角形三边关系通常要与等腰三角形的知识连用,结合分类讨论思想求解.
(2)三角形三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用.
考点1：三角形的数法
【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?
解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.
点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角
5、形的个数为3+2+1=6(个).
考点2：三角形的分类
【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).
解:A.
点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.
考点3：三角形边的求法
【例3】已知等腰三角形的周长是600px.
(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;
(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.
解:(1)设
6、底边长为xcm,则腰长为2xcm.
根据题意,得x+2x+2x=24.
解得x=4.8.
故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).
(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.
当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.
由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.
当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.
∵ 150px,225px,225px可以组成三角形,
∴ 三角形其他两边长均为225px.
点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答
7、案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.
考点4：三角形的三边关系
【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为 .
解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.
点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.
①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;
②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.
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