1、方差与标准差
教学目标
（1）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；
（2）学会计算数据的方差、标准差；
（3）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．
教学重点
用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．
教学难点
理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125。
甲
110
120
130
125
120
125
2、
135
125
135
125
乙
115
100
125
130
115
125
125
145
125
145
2．问题：
哪种钢筋的质量较好？
二、学生活动
由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）。由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定。运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论。
3、 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差。
三、建构数学
1．方差：
一般地，设一组样本数据，，…， ，其平均数为，则称为这个样本的方差．
因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．
2．标准差：
标准差也可以刻画数据的稳定程度．
3．方差和标准差的意义：
描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．
四、数学运用
1．例题：
例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。
品
4、种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为
[（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]÷5=0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]÷5=0.24
因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。
5、
例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。
天数
151~180
181~210
211~240
241~270
271~300
301~330
331~360
361~390
灯泡数
1
11
18
20
25
16
7
2
分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。
解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%+195×11%+225×
6、18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)
这些组中值的方差为
1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60(天2).
故所求的标准差约（天）
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.
2．练习：
（1）课本第68页练习第1、2、3、4题 ；
（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为9.5，0.016 ；
（3）若给定一组数据，，…，，方差为，则，，…，方差是．
五、回顾小结：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
a) 用样本平均数估计总体平均数。
b) 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样本容量越大，估计就越精确。
2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．
六、课外作业：
课本第69页第3，5，7题．
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