电磁场理论习题及答案4.doc

O

4.1 两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大电荷片，其电荷面密度为，如图所示。试通过拉普拉斯方程求两导体之间导体分布。
解：电位仅是的函数，所以

可解得

题 4.1 图
和满足边界条件
于是有 由此得到
所以
4.2 设很长的同轴圆柱结构的内、外导体之间填充以电子云，其电荷体密度 ,其中和分别为内、外导体的半径，为常数。设内导体维持在电位，而外导体接地用解泊松方程的方法求区域内的电位分布。
解：由于轴对称性，在圆柱坐标系中，电位仅为的函数，所以

由此可解出

电位满足边界条件
，
于是有
由此解出

于是得到
4.3 通过解电位的泊松方程和拉普拉斯方程，确定球形电子云内部和外部的电位和电场。已知电子云内部区域，有均匀的体电荷密度；在电子云外部区域中，。
解：由于电荷分布的球对称性，在球坐标中，电位仅是的函数，其满足的微分方程为

由此解出
和满足的边界条件为
时，为有限值；时，
；
于是有 ,

由此得到
,
,
所以

4.4 一电荷量为质量为的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。(设)。
解：小带电体可视为一点电荷，它所受静电力，来自导体平板的感应电荷，也就是镜像电荷(平面上方处，)对它的作用力。
吸力，向上。
令与重力大小相等，有

解得
4.5 一个点电荷与无限大导体平面距离为，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？
解：当点电荷移动到距离导体平面为的点处时，其像电荷，与导体

平面相距为为，如图所示。像电荷
在点处产生的电场为

所以将点电荷移到无穷远处时，电场所
做的功为 题 4.5图

外力所做的功为

4.6 两点电荷和位于一个半径为的导体球直径的延长线上，分别距球心和。
(1) 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩为
(2) 令和分别趋于无穷，同时保持不变，计算球外的电场
解：(1)如图所示，设为的镜像：

为的镜像：

可见二像电荷等值异号，与球心等距离，构成位于球心的
偶极子，其电偶极矩 题 4.6 图

(2)球外电场是由四个点电荷产生的合成场。当时， 和在导体球及邻域的场变化缓慢，是均匀场，可用球心处的场表示
(不变)
其电位表达式

电偶极矩(、)在球外的电位为

故球外电位为

4.7 半径为的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别和，设墙和地面都视为理想导体，且，。试求此导线对地的单位长电容。

解：设导线单位长带电荷为，如图所示。
墙和地面的感应电荷可由三个镜像电荷代
替，因，，则像电荷的大
小和位置为
位于(，)
位于(，)
位于(，)
导线的线电荷(在其轴线上)以及镜像 题 4.7 图
线电荷、、在导线表面上产生的电位为

故导线对地的单位长电容为

4.8 半径为的接地导体球，离球心()处放置一个点电荷，如图所示,用分离变量法求电位分布。

解：设其中

是点电荷的电位，是导体球上的感应电荷产生
的电位。
电位满足的边界条件为
(1)时，
(2) 时，
由式(1)可得的通解为 题4.8 图

为了确定系数，利用的球坐标展开式

将在球面上展开为

代入式(2)，有

比较的系数，得到

故得到球外的电位为

4.9 在一个半径为的圆柱面上，给定其电位分布：

求圆柱内、外的电位分布。
解：本题的电位与坐标无关。除了圆柱面上的已知电位以外，根据问题本身的物理含义，可以得出，圆柱外部的电位在无穷远出应该等于零，圆柱内部的电位在圆柱中轴线上应该为有限值，根据这一点，可以判断出，在圆柱外，通解中的正幂项的系数为零，在圆柱内部，通解中的负幂项的系数同样为零。
于是，柱内电位的通解为

待定系数、、可以由界面的电位来确定，即

由傅立叶级数的有关知识，可得出

即
()
将这些系数代入上面的通解，得到圆柱内部的电位

4.10 假设真空中在半径为的球面上有面密度为的表面电荷，其中是常数，求任意点的电位。
解：除了面电荷，球内和球外再无电荷分布，虽然可以用静电场的积分公式计算各点的电位，但使用分离变量法更方便。设球内、球外的电位分别是。由题意知，在无穷远外，电位为零；在球心处，电位为有限值。所以可以取球内、球外的电位形式如下：
(1)
(2)
球面上的边界条件为

将式(1)和式(2)代入边界条件，得
(3)
(4)
比较式(3)等号的两边，得
(5)
将式(5)代入式(4)，整理以后变为

使用勒让德多项式的唯一性，即将区间内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑，得

()
于是我们得到
()
()
4.11 一半径为的细导线圆环，环与、平面重合，中心在原点上，环上总量为。证明其电位为

解：根据题目给定的坐标，轴与环的轴线重合。场为轴对称，
。用环所在球面，把场区分球内和球外两部分，
解分别为、。球内不含，球外不含，通解为
(1)
(2)
把环上的线电荷表示为环所在球面上的面电荷为 题4.11 图
(3)
其中
(4)
是环所在的锥面的坐标(即的平面)
边界条件为
, (5)
(6)
由式(5)得
(7)
由式(6)得
(8)
式(8)两端乘以，从到积分得
(9)
由式(7)和(9)联立解出
(10)
(11)
(12)
将式(10)、(11)、(12)代入(1)、(2)得

4.12 利用有限差分法求静电场边值问题

求近似解。
解：取做正方形网格

0

10

20

题 4.12 图
得差分方程

利用塞德尔迭代格式

选取迭代初值，，，计算得下表。即经过6次迭代得

0
1
2
3
2 7.5 30
1.875 7.969 26.992
1.992 7.246 26.812
1.812 7.156 26.789
4
5
6
1789 7.145 26.786
1.786 7.143 26.786
1.786 7.143 26.786

近似解为
，，
4.13 已知无限大导体平板由两个相互绝缘的半无限大导体平板组成,如图所示，右半部的电位为，左半部的电位为零，求上半空间的电位。
解:此题是第一类边值问题，即体电荷为零，

此时第一类格林函数的解可以简化为
(1)
由二维半无界空间的格林函数
题 4.13 图

其中：
，
将式(1)中的面积分转化为线积分，且是界面的外法向。于是，有

代入式(1)，可得

4.14 已知一个半径为的圆柱形区域内体电荷密度为零，界面上的电位为
，用格林函数法求圆柱内部的电位。

解：使用镜像法及格林函数的性质，
可以得出，半径为的圆柱内部静
电问题的格林函数为

题 4.14 图
式中各量如图所示，，，是到场点的距离，是的镜像点到场点的距离。

，
计算出截面上的代入上题的式(1),有

4.15 如果上题的圆柱面上的电位为，求柱内的电位。
解：
(1)
根据

令，可将式(1)改为

4.16 已知在的无限大导体平板上，除了的一块长方形面积外，电位均为零。设此长方形平板的电位为,求的上半空间的电位分布。
解：由镜像法得到上半空间的格林函数

它的法向导数

所以电位

令,，则上式变为

利用公式

有

再利用公式

上式变为

4.17在两个半无限大导体平板间有任意夹角为的角形域内，有一在介电常数为的介质中与两导体平板交线平行的密度为的无限长直线电荷，设导体板接地，试求此角形域内的电势。
解：采用极坐标系，设直线电荷在平面上位于，变换到平面上则位于，而其镜像直线电荷位于，它们到场点的距离分别为与。若选取平面上的实轴为电势参考点，于是平面的上半区域的电势为

以代入上式，则在平面上角形域内的电势为

当时，有

其中：和为源点的直角坐标。
当时，注意到和，有

上述结果和直接用镜像法所得结果相同。
4.18有一扇形电阻片，其两极板与是成夹角的良导体，电阻片的电导率为，厚度为，内外圆弧的半径分别为和。设两极板的电势为，，试求扇形电阻片的电阻。
解：因为电流线为圆弧，电力线亦为圆弧，等势线为射线，应用对数保教变换，取为通量函数，为电势函数，故复电势为

其中：为复常数。于是

若取时，则；而时，得；若再选取时，则，故复电势为

由于

可见上述变换将平面上的扇形域变换为平面上的矩形域，故穿出厚度为﹑宽度为的矩形横截面的通量为

因此，扇形电阻片的电阻为

扇形电阻片常用做电位器，改变角可以线形地改变其他电阻。
4.19利用保角变换法求平行双导线间单位长度的电容。导线半径为，线间距离为，两条导线上的电位分别为、，求单位长度的电容。
解：选择对数函数可以给出和本题相同的等位线形状。考虑这样一个复变函数
(1)
很容易证明它满足柯西—黎曼方程，即这是一个解析的复变函数。由，以及上式可得
(2)
(3)
取为位函数，并令式(2)为常数，可得

式中为常数。变化上式可得

显然，这是个圆方程，其圆心为
(4)
半径

现在求上式中的和。对于右边的一条导线，其圆心位置为
(5)
半径为

从而解得
(6)
最后由右边圆导线的边界条件确定式2)中的常数。由以上的分析及所给边界条件，式(2)可写出

从而解得为

(7)
将此式代入(2),(3)则分别得到电位函数及通量函数
(8)
(9)
为了求单位长度的电容，需要求出单位长度导线上的总电荷量。例如对右边的圆导线，其单位长度的电荷量可根据高斯定律求得，它等于通过包围该单位长度导线的闭合面的总电通量。这个总电通量可由式(9)求出。该式的中括号内第一项等于，第二项等于零，于是有

所以
(10)

4.20内外半径分别为以及的同轴圆筒电容器，其中电介质的电容率为，两圆筒之间的电压为，试求电容器内的电场分布及单位长度的电容。
解：圆通电容器内的电场是平行平面场，电势函数满足拉普拉斯方程，等势线是常数的同心圆族，故选用对数的解析函数式，并令实部为电势函数。以外圆筒为电势参考，并选定的电力线为零通量线，边界条件为：

将以上边界条件代入，可得待定常数

将代入式子，得到复势函数，电势函数以及通量函数

而且

＝
可见，线是又内外圆筒的辐射线族，电场大小

电容器单位长度的电容

因为为通量函数，内圆筒单位长度电荷

故

4.21薄金属弧片的厚度为，电导率为，A,B两端加电压。计算弧片中电势的分布及导电片两端A,B间的电导。
解：导电片内电势函数满足拉普拉斯方程，所加电压A,B两端为等势线，两侧圆弧边界为电流线（或线）。故选用对数的解析函数式，并令虚部为电势函数，以端）为电势参考线，且选定内圆弧边界的E线为通量函数，边界条件如下：

将以上边界条件代入，可得待定常数

电势函数以及通量函数为

因为为通量函数，导电片厚为，电流密度，所以导电片中的电流

故导电片两端电导

4.22导体曲面的电势为200伏，以及的两导体平面的电势为零，求点的电场强度。
解：本例求解带电双曲导体柱面与直角相交导体平面间的电场。故选用解析函数式，并令虚部为电势函数。以电力线为零通量线，边界条件如下：

所以待定常数为

则复势函数，电势函数以及通量函数为

则

点的电场强度复数

得出

与

计算结果相同。

参考资料:
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