1、第十三章 13.3.1等腰三角形的性质
知识点1：等腰三角形的定义
(1)有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
(2)表示:如图所示,△ABC是等腰三角形,其中AB、AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.
关键提醒:(1)等腰三角形是特殊的三角形.
(2)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(高)所在的直线是它的对称轴.
知识点2：等腰三角形的性质
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(
2、简写成“三线合一”).
如图所示:在应用三角形三线合一的性质时,用几何语言表述为:
①∵ AB=AC,AD平分∠BAC,∴ AD⊥BC,BD=CD;
②∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ AD平分∠BAC,BD=CD;
③∵ AD⊥BC,AD平分∠BAC,∴ AB=AC, BD=CD.
关键提醒:(1)“等边对等角”在同一个三角形中才能应用,若相等的线段不是同一个三角形的两条边,则不能用该性质;(2)应用“三线合一”的性质的前提条件必须是等腰三角形,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合,若是一腰上的高与中线就不一定重合.
考点1：在等腰三角形中求边的长度
3、
【例1】已知等腰三角形的底边长为10,周长不大于40,求腰长的取值范围.
解:设腰长为x.
∵ 等腰三角形两腰相等,∴ 2x+10≤40.
∴ x≤15.
又 底边长为10,两边之和要大于第三边,
∴ x+x>10.∴ x>5.
∴ 腰长的取值范围是54、 D.20°
答案:C
点拨：法一:∵AC=AD,∠DAC=80°,∴∠ADC=∠ACD=50°.∵AD=BD,∴∠DAB=∠ABD,而∠ADC=∠DAB+∠ABD,∴∠ABD=25°,故选C.法二:设∠ABD=x°,∵AD=BD,∴∠DAB=∠ABD=x°,∴∠ADC=∠DAB+∠ABD=2x°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=2x°.∵∠DAC=80°,∴2x+2x+80=180.解之得x=25,故选C.欲求三角形中的某个内角,可从已知条件出发,逐步求解,即由因得果;也可利用方程思想,设所求的角的度数为x°,再执果索因.
考点3：利用三角形的性质解决实际问题
【例2】如图是一钢架,∠AOB=10°,为使钢架更加坚固,需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多可以添加这样的钢管 根.
答案:8
点拨:因为OE=EF,所以∠EOF=∠EFO=10°,∠FEG=∠EOF+∠EFO=20°.又因为EF=FG,所以∠EGF=20°.由三角形外角的性质,所得等腰三角形的底角每次增加10°,依次类推.当添加到8根时,此等腰三角形的两底角为80°,底角不能再增加,因此不能再添加同样长度的钢管组成等腰三角形.
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