九年级数学下册 3.4.2 圆周角和圆心角的关系教案1 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：3.4.2圆周角和圆心角的关系
教学目标：
1. 掌握圆周角定理的2个推论的内容.
2. 会熟练运用推论解决问题.
教学重点与难点：
重点：圆周角定理的几个推论的应用.
难点：理解2个推论的“题设”和“结论”.
课前准备：教师准备多媒体课件.
教学过程:
一、创设情境 导入新课
活动内容：
第1题
前面，我们学习了圆周角定理及推论，请完成下列问题.
第2题
1.求图中∠x的度数：

2.求图中∠x的度数：∠ABF=20°，∠FDE=30°
处理方式：引导学生自行探究，然后集体交流，根据学生回答情况，设问：还有哪些推论？下面我们共同探究.
设计意图：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系.练习1是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；练习2是复习定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
二、自主学习 合作探究
活动内容1：
（1）观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？

处理方式：首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC）
然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC是一个直角）最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.（多媒体展示）
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°．
证明：∵BC为直径，
∴∠BOC=180°．
∴．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
（2）观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
处理方式：首先，让学生猜想结果；然后，再让学生尝试进行证明.（多媒体展示）
解：弦BC是直径.
连接OC、OB．
∵∠BAC=90°，
∴∠BOC=2∠BAC=180°．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上．
∴BC是⊙O的一条直径．
（3）从上面的两个议一议，得出什么推论？
处理方式：引导学生结合上面两题归纳，并用多媒体展示.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
几何表达为：直径所对的圆周角是直角；
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°.（90°的圆周角所对的弦是直径）
∵∠BAC=90°，
∴BC为直径．
设计意图：本环节的设置，需要学生经历猜想——实验验证——严密证明，这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论.
活动内容2：
（1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？

（2）如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长．
解：∵AB为直径，
∴∠BCA=90°．
在Rt△ABC中，
∠ABC=30°，AB=10，
∴．
处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再集体交流，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：在学习了推论“直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用，目的的增加学生对这两个推论的熟练程度，并学习灵活应用这两个推论解决问题.第1题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力.
活动内容3：
1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
2.请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
处理方式：首先：引导学生进行猜想；然后：让学生进行证明.接着多媒体展示过程.
解：∠BAD与∠BCD互补．
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°．
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
∴∠BAD与∠BCD互补．
3.如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
处理方式：首先：让学生猜想结论；然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；最后：让学生利用所学知识进行严密证明. 接着多媒体展示过程.
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
连接OB，OD，
∵,．（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
4.圆内接四边形概念与性质探索
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
处理方式：通过得出定义,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.通过议一议环节，得出推论：圆内接四边形的对角互补.多媒体展示几何语言.
∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
设计意图：本活动环节，目的是通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推论.
活动内容4：
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
处理方式：让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节，多媒体展示过程.
解：∠A=∠CDE．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°．（圆内角四边形的对角互补）
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE．
设计意图：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而巩固本节课学习方法的应用.
三、引导反思 总结归纳
活动内容：
通过本节学习，你有哪些收获？在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流.
处理方式：让学生自主总结交流，最后老师再作方法归纳总结.
方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本环节.
方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.
设计意图：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.
四、 练习巩固，交流提高
活动内容：
1.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
第2题
∴∠A+∠C=180°．（圆内角四边形的对角互补）
∵∠A:∠C=4:5，
∴．
即∠C的度数为100°.
2.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.
解：∵∠BOD=80°，
∴．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°．
∴∠BCD=180°-40°=140°．（圆内接四边形的对角互补）
处理方式：引导学生独立完成，然后有学生到黑板展示.

设计意图：通过这两道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．
1题图
五、达标检测，评价反馈
1．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（ 　 ）
A、35° B、55° C、70° D、110°
2．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55º，
则∠BCD的度数为（ ）
A、35º 　B、45º 　 C、55º 　D、75º
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10,求AE的长.
4．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4.求AD的长.
2题图

4题图
3题图

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况，学生根据答案进行纠错．
设计意图：在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维.
六、布置作业，落实目标
课本 习题P84 习题3.5 第2，3题．
板书设计：
3.4.2 圆周角和圆心角的关系
推论2
推论3

例

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