数学：1.1你能证明吗试题资料（北师大版九年级上）.doc

九年级上第一章证明
第一节你能证明吗
第1课时
一、试题资料库：
例1. （1）如果等腰三角形的两边分别为3和6，则周长为 。
（2）如果等腰三角形的两边分别为3和4，则周长为 。
解答：（1）如果等腰三角形的两边分别为3和6，则周长为 15 。
（2）如果等腰三角形的两边分别为3和4，则周长为 10或11 。
例2. 已知如图AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：DE＝DF。

证明：连结AD
∵AB＝AC，BD＝DC
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE＝DF
  例3. 已知：B、C、E在同一直线上，△ABC、△DEC是等边三角形，BD交AC于Q，AE交CD于P，求证：
（1）BD＝AE；
（2）△CPQ是等边三角形；
（3）PQ∥BC。

分析：（1）证BD、AE所在的△BDC和△AEC全等。
（2）可证CQ＝PC，可通过证△CEP与△CQD全等来证。
（3）由△PCQ为等边三角形可得∠QPC＝60°，可通过内错角相等来证PQ∥BC。
证明：（1）∵△ABC，△DEC为等边三角形
∴∠ACB＝∠DCE＝60°
在△BCD和△ACE中，

∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD＝AE（全等三角形的对应边相等）
（2）由（1）∠CDQ＝∠CEP（全等三角形的对应角相等）
∵∠BCE＝180°
∴∠QCP＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°
在△CDQ和△CEP中，

∴△CDQ≌△CEP（ASA）
∴CQ＝CP（全等三角形对应边相等）
在△PCQ中，∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
（3）∵△CPQ是等边三角形
∴∠PQC＝60°（等边三角形的每一个角都是60°）
∴∠PQC＝∠BCQ
∴PQ∥BC（内错角相等，两直线平行）

例4. 如图：AB＝AC，BC∥DE，AD、AE分别交BC于点G、H，∠ADE＝∠AED。
求证：BG＝CH

证明：∵BC∥DE
∴∠1＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）
同理，∠2＝∠AED
又∠ADE＝∠AED
∴∠1＝∠2（等量代换）
∴AG＝AH（等角对等边）
过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO
∴BO＝CO（等腰三角形底边的高与底边的中线重合）
∵AO⊥GH
∴GO＝OH（同上）
∴BG＝CH（等量代换）

例5. 如图ABC为等边三角形，D为CB的延长线上任一点，以AD为边作等边三角形ADE，求证：∠ABE＝∠ADE。

证明：∵ABC与ADE均为等边三角形。
∴AE＝AD，AB＝AC， ∠EAD＝∠BAC＝，
∴∠EAD＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB
即∠EAB＝∠DAC
∴∴∠ABE＝∠C＝，
∴∠ABE＝∠ADE.

例6. 已知如图在等边三角形ABC各边上分别取D、E、F，使AD＝BE＝CF，AE、BF、CD两两交于G、H、K三点，求证：GHK为等边三角形。

证明：∵ABC为等边三角形
∴∠ABC＝∠BCF＝
∵AB＝BC，BE＝CF
∴
∴∠BAE＝∠CBF
∵∠ABF＋∠CBF＝，
∴∠AGH＝∠BAE＋∠ABF＝
同理：∠GHK＝∠HKG＝
∴∠AGH＝∠GHK＝∠HKG
∴GHK是等边三角形。

例7. 已知如图在RtABC，∠C＝，，求证：AB。

证明：延长BC到D使得CD＝BC，连结AD
在ACD和ACB中

∴
∴∠BAC＝∠DAC＝，AB＝AD，即∠DAB＝
∴ABD是等边三角形
∴BD＝AB ∵CB＝BD
∴CB＝AB

例8. 已知ABC中，AB＝AC，，AB的垂直平分线EF交AB于E交BC于F。求证：CF＝2BF。

证明：连结AF
∵EF为AB的垂直平分线
∴BF＝AF ∴∠BAF＝

又∵AB＝AC， ∴
∴
∴RtAFC中，，AF＝CF
又∵AF＝BF，∴BF＝CF
∴CF＝2BF

拓广探索（1.通常作顶角平分线、底边中线、底边高线）
例9. 已知：如图AB＝AC，BD⊥AC于D，求证：。

证明：作∠BAC的平分线AE， 交BC于E
则
又∵AB＝AC， ∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB＝
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB＝
∴∠2＝∠DBC， ∴

（2. 常延长一腰至等长构造直角三角形解题）
例10. 已知如图在ABC中，AB＝AC， 在BA延长线上取AE＝AF。求证：EF⊥BC。

证明：延长BE至N，使AN＝AB，连结CN，则AB＝AN＝AC
∴∠B＝∠ACB ∠ACN＝∠ANC
∵
∴
∴即
∴NC⊥BC ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE.
又∵∠BAC＝∠AEF＋∠AFE， ∠BAC＝∠ACN＋∠ANC
∴∠BAC＝2∠AEF＝2∠ANC， ∴∠AEF＝∠ANC
∴EF//NC ∴EF⊥BC.

3. 构造等腰三角形
例11. 已知如图在ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC

证明：延长AB至E，使BE＝BD，连结DE。
则∠BED＝∠BDE
∵∠ABD＝∠E＋∠BDE
∴∠ABC＝2∠E
∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C.
在AED和ACD中

∴ ∴AC＝AE
∵AE＝AB＋BE ∴AC＝AB＋BD
即AB＋BD＝AC
例12. 已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由。

猜想：AE⊥BC，BD＝CD
说理：∵AB＝AC(已知)
OB＝OC(已知)
AO＝AO（公共边）
∴△ABO≌△ACO（SSS）
∴∠BAO＝∠CAO
∴AE⊥BC，BD＝CD（等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合）
注意：等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。而轴对称又是全等变换中的基本形式，因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。
例13、已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，且AD＝AE，求证：BD＝CE
分析：该题证明方法很多，可以用以前学过的全等三角形解题，也可应用等腰三角形性质解题。
证法一：过A作AF⊥BC于F
可由HL证△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF得DF＝EF，BF＝CF
再由等式性质得BD＝CE
详细证明过程请自己完成。

证法二：由等边对等角得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED
所以∠ADB＝∠AEC，根据AAS可证△ABD≌△ACE 得：BD＝CE
证法三：过A作AF⊥BC于F，由AB＝AC，得BF＝CF（三线合一），
同理由AD＝AE，得DF＝EF
所以由等式性质可得BD＝CE。
比较这三种方法可看出，多用等腰三角形的性质，可减少证三角形全等的次数。所以灵活运用等腰三角形的性质可简化证题过程。

例14、已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AC，AB上，且∠ABD＝∠ACE，BD、CE相交于O。
求证：BO＝CO

证明：∵AB＝AC（已知） ∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）
又∵∠ABD＝∠ACE（已知）
∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE（等式性质）
即∠OBC＝∠OCB（等量代换）
∴BO＝CO（等角对等边）

 例15. 探索：等腰三角形两底角的平分线大小关系。
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。

猜想：BD＝CE.
解：∵AB＝AC（已知），
∴∠ABC＝∠ACB （在一个三角形中等边对等角）
∵BD、CE分别是两底角的平分线（已知）
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB （角平分线的定义）
∴∠DBC＝∠ECB，
在△DBC和△ECB中∠DBC＝∠ECB，BC＝CB（公共边），∠ABC＝∠ACB ，
∴△DBC≌△ECB（ASA）
∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）
注意：等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外，还有其他一些相关的线段，探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分，此例就是所做的一种探索，按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。