1、第二十二章 22.3.1实际问题与二次函数（一）
知识点1:利润最大问题
1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题.如在产品的营销过程中何时获得最大利润;在生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等.这些问题都可以转化为二次函数问题,利用二次函数的性质加以解决.
2.解销售中最大利润问题的步骤:
(1)利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;
(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;
(3)求二次函数的最大值或最小值.
知识点2:面积最大问题
1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.
2.利用平面几何图形
2、的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式,并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积.
3.求几何图形面积的常见方法有:利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积;利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积;利用相似比求几何图形的面积等.
4.解决面积问题的一般步骤:
(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;
(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;
(3)求二次函数的最大值或最小值.
拓展提高：在处理复杂图形面积时常用的方法是:把复杂的几何图形进行分割求和.
考点1：利用二次函数求最大利润问题
【例1】 李经理按市场价格10元/千克在某
3、地收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数解析式;
(2)李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?
解:(1)由题意得y与x之间的函数解析式为:
y=(10+0.5x)(2 000-6
4、x)=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且为整数).
(2)由题意得:-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500,
解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去).
答:李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放50天后出售.
(3)设最大利润为W元,由题意得
W=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=-3(x-100)2+30 000.
∵0<100<110,∴当x=100时,W取得最大值,其最大值为30 000.
答:存放100天后,出售这批香菇可获得最大利润,最大利润是30 000元.
点
5、拨：(1)存放x天后,香菇的市场价格为(10+0.5x)元/千克,此时香菇损坏6x千克,还可出售的香菇有(2 000-6x)千克,因此y=(10+0.5x)(2 000-6x).(2)销售总金额为(10+0.5x)(2 000-6x)元,收购成本为(10×2 000)元,各种费用为340x元,由利润=销售总金额-收购成本-各种费用,可得方程-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500.(3)由二次函数的最大值可得结果.
考点2：利用二次函数求面积的最大值
【例2】 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为30 m的篱笆围成
6、已知墙长为18 m,如图所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.
(1)若平行于墙的一边的长为y m,直接写出y与x之间的函数解析式及其自变量x的取值范围;
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值;
(3)当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.
解:(1)y=30-2x(6≤x<15).
(2)设矩形苗圃园的面积为S m2,则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x.∴S=-2(x-7.5)2+112.5.由(1)知,6≤x<15,∴当x=7.5时,S取得最大值,S最大值=112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m时,这个苗圃园的面积最大,最大值为112.5.
(3)函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x<15)的图象如图所示,结合图象,当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x的取值范围是6≤x≤11.
点拨：因为0
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