八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.3《线段的垂直平分线》教案3 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

《线段的垂直平分线》
第1课时
教学目标
1、经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想；
2、能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题；
3、通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用．
教学重点及难点
重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理；
难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用．
教学过程设计
一、情景引入
1、引例：
区政府为了方便居民日常生活，计划开一家大超市，为了使该超市到A，B，C三个居民小区的距离相等，请同学们设计一下，这个超市应该建在哪里呢？

2、回顾，导入：
提问1：线段是不是轴对称图形？
如果是，那么请说明它的对称轴在哪里？
提问2：如图，线段AB关于直线MN对称，在直线MN上任取一点P，分别联结PA、PB，那么线段PA与PB一定相等吗？

揭示课题：线段的垂直平分线
二、学习新知
(一)探究新知
1、线段的垂直平分线的性质定理．
操作：以直线MN为折痕将这个图形翻折，观察点P的位置动不动？点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？
归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等．
验证：证明这个命题，写出已知和求证．
已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为点C点P在直线MN上．
求证：PA＝PB．
分析：如图，当点P不在线段AB上时，要证明PA＝PB，只需要证△PCA≌△PCB．由直线MN是线段AB的垂直平分线，可知CA=CB，∠PCA=∠PCB，再加上PC为公共边，三角形全等即可得到．
特别地，当点P在线段AB上时，P点与C点重合，此时PA=PB当然也成立．

证明：略．
∵

MN
是
线段
AB
的
垂直平分线
（
已知
）

∴

MN
⊥
AB
，
AC=BC
（
线段
垂直
平分线
的
定义
）

设
点
P
在
线段
AB
外
时
，

∵

MN
⊥
AB
（
已证
）

∴

∠
PCA
=
∠
PC
B=90
？
（
垂直
的
定义
）

在
△
PCA
和
△
PCB
中
，

AC=BC
（
已证
）

∠
PCA
=
∠
PC
B
（
已证
）

PC=PC
（
公共边
）

∴

△
PCA
≌
△
PCB
（
S.A.S
）

∴

PA=PB
（
全等
三角形
对应边
相等
）

当点P在线段AB上时，点P与点C重合，即PA=PB

归纳线段垂直平分线的性质定理：
文字语言：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
符号语言：
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB
2、逆定理．
提问：线段垂直平分线的逆命题是什么？逆命题正确吗？
原命题：如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点，那么这个点到线段的两个端点距离相等．
逆命题：如果一个点到线段的两个端点距离相等，那么这个点是这条线段垂直平分线上的一点．
简写为：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上．
符号语言：
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
验证：
已知：如图，PA=PB，
证明：点P在线段AB的垂直平分线上．

分析：为了证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点P作线段AB的垂线MN，然后证明直线MN平分线段AB．
证明：
过点P作MN⊥AB，垂足为点C
∵PA=PB(已知)PC ⊥AB(已作)
∴AC=BC(等腰三角形底边上的高平分底边)
∴PC是线段AB的垂直平分线
即点P在线段AB的垂直平分线上．
特别地，当P就在AB的中点上时，结论正确吗？
综上所述，这条逆命题是正确的，也就是说，线段的垂直平分线有它的逆定理．
3、线段的垂直平分线性质定理和逆定理的区别：
性质定理是归纳线段垂直平分线上点到线段两端点的距离的数量关系．
逆定理是归纳和一条线段两端点距离相等的点与线段的位置关系．
(二)应用新知，尝试反馈
已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：BE=CE．

证明：联结BC．
∵ AB＝AC，DB＝DC．
∴点A、D在线段BC的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)
∴AD是线段BC的垂直平分线
∵点E在AD上
∴BE=CE(线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等)．
三、课堂小结
这节课我们学习了线段垂直平分线定理和逆定理的知识，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．
学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等．
第2课时
教学目标
1、探索尺规方法作线段垂直平分线的思路与过程以及体验其中的演绎思维过程．
2、能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题．
教学重难点
教学重点：用尺规作线段的垂直平分线；线段垂直平分线性质定理及其逆定理．
教学难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用．
教学过程
一、用尺规作线段的垂直平分线
要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．
[师生共析]
已知：线段AB(如图)，求作：线段AB的垂直平分线．

作法：1、分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D，
2、作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线．
[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．
[生]从作法的第一步可知AC=BC，AD=BD，
∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．
∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．
[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点所以我们也用这种方法作线段的中点．
活动效果及注意事项：活动时可以先让学生讨论，然后点名学生板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结．
二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用
已知：如图，在△ABC中，OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交与点O．
求证：点O在BC的垂直平分线上．

分析：要引导学生想到本例的关键在于分别联结OB、OA、OC．
证明：分别联结OB、OA、OC，
∵OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线(已知)
∴OA=OB，OA=OC(线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等)
∴OB=OC(等量代换)
∴点O在BC的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
归纳：三角形三条边的垂直平分线交于同一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．