山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学上册 1.1.1 探索勾股定理教案 （新版）北师大版.doc

1.1.1探索勾股定理

1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.
2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题.
教法与学法指导：如何发展学生的推理能力是初中阶段数学老师需要重点关注的地方之一，所以我打算采用“引导—探究—发现”法来进行教学.
在如何得到新知识这一问题，是学生能否很好的掌握并理解新知识的关键，我认为，现阶段最适合学生的方法就是“自主探究与合作交流相结合”这一方法.
勾股定理是本节课的重点，如何引出勾股定理和勾股定理的应用时难点.所以我打算通过学生的的预习，直接引导学生重点研究直角三角形三边的平方之间有什么关系，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆.在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等.
课前准备：带网格的小黑板、直尺、三角板.学生进行课前预习并准备一些网格纸.
教学过程：
一、 创设情境，引入新课
同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手.这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量.不知道结果如何？
学生纷纷回答.
C
B
A
下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答.
(1)、根据测量，
那么他们将要少走多少米？
（2）、分别以这三条边为边作三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？
（3）、根据课前预习，试计算在直角三角形ABC中，三条边之间有什么样的数量关系？
【意图：紧扣课题，自然引入，同时教育学生平时就要养成好的行为习惯.
效果：从课堂上来看还不错，学生能根据题目自然的想到三边平方间的关系.
建议：以后再用的老师最好能把图形画的完整一些，这样更能引起学生积极性.】
那么请同学们猜想，刚才得到的数量关系，在所有的直角三角形都是适用的吗？
今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）
二、探究新课过程：
1、探索发现勾股定理
⑴做一做：
①拿出准备的网格纸，画出一些格点三角形，分别测量它们的三条边，结合引例看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流.
②上面猜想的关系是否适用于全部的直角三角形？
【意图：有个别到一般，通过一个联想到全体，进而得到需要的新知识，可以锻炼学生，由特殊到一般的思想，也可以提高学生的猜想归纳能力.
效果：从课堂上来看大多数学生都能根据自己的理解得到正确的结论.
建议：下次再用时，要求学生画直角三角形时，最好尽可能的沿着网格线画，这样方便测量.
困扰：此处的问题问的好像不太合适，到底该如何问才能发挥出更好的引导作用？与课本上一样？】
⑵探究与发现：
①观察下面两幅图：
_
A
_
B
_
C
_
C
_
B
_
A

②填表：

A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图

右图

③分析填表的数据，你发现了什么？
【本题的困难之处在于学生如何计算两个图形中正方形C的面积.在这里教师简单介绍两种常见的方法，一是小的加小的，二是大的减小的.利用投影或带网格的小黑板画出图形，学生很容易的就能弄明白到底该如何计算，这类题在以后会经常出现，所以最好能讲解清楚.免得以后麻烦】
学生通过分析数据，归纳出：
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
【意图：此题意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论.
建议：在教学中教师最好能把本节课需要用到的辅助工具比如：刚才求正方形C的面积需要的投影或小黑板上事先要画好图形。并用简练的语言，必要的提示引导学生得到我们所需要的答案.】
⑶议一议：
①你能用直角三角形的边长a,b,c来表示上图中正方形的面积吗？
②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.上面发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
【意图：再进一步的用字母来表示数，上升一个层次，上学生体会其中的区别与联系.在独立探究的基础上小组内相互交流用最合理的语言来描述发现的规律.为下面的得到定理打下基础.
效果：学生对发现的规律有更深刻的认识，也能从特殊到一般，由数字到字母来表示相关发现，为以后的解题提供了更多的选择方法.
建议：此环节尽可能的少用一些时间，为下面的过程提供时间上的方便】
⑷要求学生用自己的语言得到刚才所发现的规律：
勾股定理（gou-gu theorem）：

如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

【意图：意在让学生在上面面积结论的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.并能用自己的语言叙述出来.
效果：让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.通过作图培养学生的动手实践能力.
建议：学生在叙述时最好能找几个平时语言表达能力好的学生来回答，这样可以节约时间给下面的环节】
⑸数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的
直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．
（在西方称为毕达哥拉斯定理）
【此处主要是让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光】
基础跟踪：直角△ABC中，∠C=90°
(1)a=6，b=8，c=___
(2)a=3，c=5，b=____
(3)b=12，c=13，a=____
(4)a:b=3:4，c=15，a=___，b=____，面积=_____，斜边上的高=_______．
2、勾股定理的应用：
⑴课本引例：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m处折断倒下，
树顶落在离树根12m处. 大树在折断之前高多少？
解：设树倒下部分的面积为x m
∵树倒下后与地面正好构成一个直角三角形
∴122 + 92 = x2
∴x2 =144 + 81= 225
∴x = 15（m）
∴大树在折断前的高度为：15 + 9 = 24 (m)
【意图：通过引例的探究，让学生知道勾股定理在现实生活中的应用非常多，同时也让学生明白如何利用勾股定理来解题，尤其是解题过程如何书写.
效果：通过例题的讲解，学生能大致明白这类问题如何分析，如何入手解决，并且解题过程怎样写是最合理的.
建议：一定给学生明确，只有在知道是直角三角形时才能用勾股定理来解决实际问题，否则不能】

⑵巩固练习：
_
A
_
C
_
B
①为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为　　　　米．
②如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点
C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离
为　　　　m．
③如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,则图中阴影部分的
_
C
_
B
_
A
面积是 .

⑶生活中的应用：
　 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
【意图：练习第1，2题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．第3题难度稍微加大一些，目的是提高学生的能力，生活中的应用体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
效果：通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来.
建议：练习1,2两个题选择其中一个即可。先让学生独立解决，然后展示自己的结果，不要求学生讨论，这样可以锻炼学生的解题能力.】
3、课堂小结：
教师直接抛出问题：通过本节课的探索你得到了哪些知识？你是如何得到这些知识的？
【意图：升入初二，学生应该养成主动、独立探究问题的习惯，而不是仍然在老师或其余同学的引导或直接告诉答案下才能得到新知识.所以本学期类似的问题会经常出现在课堂中，让学生知道得到问题的过程是什么.
效果：通过学生的回答发现很多学生根本就不知道如何回答这些问题，仔细分析一下原因无外就是两个：一是学生对这个过程做的很好，但是不会用语言表达出来，二是部分学生存在的懒惰心理，根本就没按照老师的要求去做。所以针对这一情况，以后会不断地给学生灌输上面的思想，让学生养成好的学习习惯，这样，老师会省心许多，学生的学习效率也会有很大的提高.
建议：教师最好能先找一些程度好的学生回答，其余学生在这些学生的带动下，慢慢的就会知道如何做.】
达标检测：
A类：
⒈一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距　　　　km．
⒉直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.

B类：
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B
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A
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C
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D
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E
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

C类：
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8
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6
_
C
_
B
_
A
如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

【意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.
效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.】
板书设计：

1.1探索勾股定理（1）

三边间的关系：
AB2+BC2=AC2
探究发现中正方形C面积的两种算法：
⑴小的加小的，

⑵大的减小的

课本引例的解题过程：
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
相关习题的必要解题步骤：

教学反思：
根据新课标的评价理念，在本课在探索勾股定理的过程中，对学生的参与热情、情感态度、探究的积极性、探究的效果等学习情况进行评价；在“勾股定理的应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况；在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况；通过课堂作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．再根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果．
本节内容重在探索与发现，所以要给充分的时间让学生讨论与交流.在这一点上本人在本节课做的不好，总是担心时间，所以有时会打断学生的思考，使部分学生刚形成的思路被我生生打断，以后一定要注意这种情况.
在计算正方形C面积的时候自认为补充的两种方法不错，不光解决了本节课的问题也为学生以后的解题思路提供了新的方向.
在总结勾股定理时，有几个本来程度较差的学生说了出来，给予鼓励以后，显得比较高兴，接下来的课堂表现的也很主动、积极.所以在以后的教学中一定要适时的鼓励学生.提高他们探索问题的积极性.