1、三角形三边的垂直平分线及作图
1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点)
2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．
一、情境导入
现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？
二、合作探究
探究点一：三角形三边的垂直平分线
【类型一】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度
如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥A
2、C交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．
解析：根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．
解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.
方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上
3、的点到线段两个端点的距离相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型二】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．
解析：首先连接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，可求得∠B＝∠C＝30°.又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案．
解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB＝AC，
4、∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝cm.
方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
【类型三】 三角形三边的垂直平分线的性质的应用
某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的
5、距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．
解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心．
方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：作图
已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝c.
解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，高把底边垂直平
6、分，且高等于底边长的一半．
解：作法：1.作线段AB＝c；
2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB于D；
3．在射线DF上截取DC＝c，连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．
方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的位置．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．作图
本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形.
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