1、第十五章 15.3.1分式方程
知识点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的重要特征:①含有分母;②分母中含有未知数.
知识点2：分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思路是“转化”,即把分式方程转化为我们熟悉的整式方程,转化的途径是“去分母”,即方程两边都乘以最简公分母.
2. 解方程必须检验,检验的方法是:将整式方程的解代入最简公分母(或每个分母),如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原方程的解.否则,这个解不是原分式方程的解(有的书上称为原方程的增根).
3. 解分式方程时什么情况下产生增根?
在解一个方程时,如果出现了增根,往往是
2、由于变形时扩大了未知数的取值范围造成的.
(1)如果不遵从同解原理,即使是整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘以x,变形成x(x-2)=0,新方程就比原方程添加了一个根x=0,这是因为在方程两边都乘了一个x,这相当于用0乘以原方程的两边(0适合于新方程),而这是违反同解原理的.
(2)解分式方程时,去分母可能会出现增根.去分母后所得整式方程的根可能使原方程的公分母为0.判别增根,只要通过把所解方程的根代入最简公分母,看其值是否为0,如果等于0,那么这个根即为增根.
关键提醒:(1)用分式方程中的最简公分母同时乘方程的两边,从而约去分母,但要注意用最简公分母乘方程两边的各
3、项,切记不含分母的项不能漏乘.
(2)解分式方程可能产生使分式方程无解的情况,那么检验就是解分式方程的必要步骤.
考点1：分式方程的判定
【例1】下列各式是分式方程吗?
(1)2x-3y=0;(2) -3=;(3)=;
(4)+3;(5)2+=.
解:(1)因为方程里面没有分母,所以2x-3y=0不是分式方程;(2)虽然方程里含有分母,但是分母里没有未知数,所以不是分式方程;(3)方程=具备分式方程的三个特征;(4)+3没有等号,所以不是方程,它是一个代数式;(5)2+=具备分式方程的三个特征,所以是分式方程.
点拨:逐个检查是否符合分式方程的三个特征:(1)是方程;(2
4、)方程里含有分母;(3)分母里含有未知数.
考点2：分式方程的解法
【例2】解分式方程:+=.
解:去分母,得3x+x+2=4,解得x=,经检验x=是原方程的解.
点拨:在方程的两边同乘以最简公分母x(x+2),化去分母,进而求解,并检验.
考点3：分式方程的增根
【例3】分式方程-1=有增根,则m的值为( ).
A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 3
点拨:分式方程中公分母为(x-1)(x+2),方程若存在增根,那么去掉分母以后所得整式方程的根,至少存在一个根一定可以使(x-1)(x+2)等于0.
解:方程两边同乘以(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=m,即x=m-2.
由(x-1)(x+2)=0,得x=1或x=-2.
由题意,
当x=1时,m-2=1,解得m=3.
当得x=-2时,m-2=-2,解得m=0,此时原方程无实根,所以m=0,不成立,舍去.故选D.
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