九年级数学下册 3.2 圆的对称性教案二 湘教版.doc

圆的对称性
教学目标
(一)教学知识点(二)
1．圆的旋转不变性．
2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
(二)能力训练要求
1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．
2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
(三)情感与价值观要求
培养学生积极探索数学问题的态度及方法．
教学重点
圆心角、弧、弦之间关系定理．
教学难点
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
教学方法
指导探索法．
教具准备
投影片两张
第一张：做一做(记作§3．2．2A)
第二张：举反例图(记作§3．2．2B)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？
[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．
[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨．
Ⅱ．讲授新课
[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？
[生]大小一样．
[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？
[生]重合．
[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
[师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A)
按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．
2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合．
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．

[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．
[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A＇O＇B＇．
[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O＇A＇B＇＝∠O＇B＇A＇．
[生丙]由△AOB≌△A＇O＇B＇，可得到AB＝A＇B＇．
[生丁]由旋转法可知．
……
[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．
[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O＇A＇重合时，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．这样便得到半径OB与O＇B＇重合．因为点A和点A＇重合，点B和点B＇重合，所以和重合，弦AB与弦A＇B＇重合，即，AB＝A＇B＇．
[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
下面，我们一起来看一看命题的证明．
(学生互相讨论交流，学生口述，教师板书)
如上图所示，已知⊙O和⊙O＇是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A＇O＇B＇．
求证：，AB＝A＇B＇．
证明：将⊙O和⊙O＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，
∴半径OB与O＇B＇重合．
∵点A与点A＇重合，点B与点B＇重合，
∴与重合，弦AB与弦A＇B＇重合．
∴，AB＝A＇B＇．
上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2B)
[生]如下图示，虽然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，

下面我们共同想一想．
[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)
[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．
[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．
[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？
[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．
例如，下图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD＝BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．

[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容．
课本P97 随堂练习1、2、3
Ⅲ．课时小结
[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)
[生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、孤、弦、弦心距之间相等关系定理……
Ⅳ．课后作业
课本P98 习题3．3：1、2
Ⅴ．活动与探究(略)
板书设计
§3．2．2 圆的对称性
一、圆的旋转不变性
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
证明：略
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业