九年级数学下册二次函数复习教案沪科版.doc

沪科版·九年级下·二次函数复习·教案
◆知识讲解
①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=－，最值为，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．
⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=ax±h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．
⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（－，）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（－，）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

◆例题解析
例1 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．
【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值．
【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上，
又∵y=x2－x+m=[x2－x+（）2]－ +m=（x－）2+
∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）．
（2）∵顶点在x轴上方，
∴顶点的纵坐标大于0，即>0
∴m>
∴m>时，顶点在x轴上方．
（3）令x=0，则y=m．
即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）．
∵AB∥x轴
∴B点的纵坐标为m．
当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1．
∴A（0，m），B（1，m）
在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│．
∵S△AOB =OA·AB=4．
∴│m│·1=4，∴m=±8
故所求二次函数的解析式为y=x2－x8或y=x2－x－8．
【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．
例2 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m标．

【分析】（1）解方程求出m，n的值．
用待定系数法求出b，c的值．
（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积．
（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：
①EH=EP， ②EH=EP．
【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，
得x1=5，x2=1．
由m方程组，得
所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5．
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．
解这个方程，得x1=－5，x2=1．
所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示．
则S△DMC=×9×（5－2）=．
S梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S△BDC =×5×5=．
所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+－=15．
（3）设P点的坐标为（a，0）
因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．
由题意，得①EH=EP，即
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）．
②EH=EP，得
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）．
P点的坐标为（－，0）或（－，0）．
例3 （2006，山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2－mx与y=x2－mx－，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；
（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2－mx+．
由于b2－4ac=（－m）－4×1×=－m2－2<0，
所以此函数的图像与x轴没有交点．
对于关于x的二次函数y=x2－mx－．
由于b2－4ac=（－m）2－4×1×=3m2+4>0，
所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点．
故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－．
（2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－．
得1+m－=0．
整理，得m2－2m=0．
解得m=0或m=2．
当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0．
解这个方程，得x1=－1，x2=1．
此时，点B的坐标是B（1，0）．
当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0．
解这个方程，得x1=1，x2=3．
此时，点B的坐标是B（3，0）．
（3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，
所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小．
当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小．
【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决．
◆强化训练
一、填空题
1．（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．
2．（2005，山东省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．
3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．
4．（2005，温州市）若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_______（只要求写出一个）．
5．（2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．
6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－s2+s+．如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______．

7．（2005，甘肃省）二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．
8．（2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．
二、选择题
9．（2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0

(第9题) (第12题) (第15题)
10．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
14．（2005，包头市）已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2006，诸暨）抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
16．（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（ ）

三、解答题
17．（2006，浙江舟山）如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；
（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

18．（2006，重庆）如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．

20．（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=，抛物线与x轴交于A，B两点．在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．

21．（2005，吉林省）如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．

22．（2005，长春市）如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2（x≥0）于点B，交抛物线y=x2（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=x2于点E．
（1）求AB：BC；
（2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由．

答案
1．－2≤x≤1 2．（1，－8） 3．1 4．答案不唯一（略） 5．3
6．5a=
∴抛物线解析式为y=x2+x+2．
18．（1）y=－x2－4x+5
（2）C（－5，0），D（－2，9） S△BCD=15
（3）设P（a，0），∵BC所在直线方程为y=x+5．
∴PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5）．
PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．
①若EH=EP．则（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），则a=－或a=－5（舍）
②若EH=EP，则（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），则a=－或a=－5（舍）
∴P（－，0）或（－，0）．
19．如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M（，4），N（2，），
设抛物线的表达式为y=ax2+c，则
解这个方程组，得
∴y=－x2+，当x=0时，y=，
∴C（0，），OC=．
当y=0时，－x2+=0，解得x=±．
∴A（－，0），B（，0），AB=．
所以，抛物线拱形的表达式为y=－x2+．
隧道的跨度AB为m，拱高OC为m．

20．（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
根据题意，得 ，解得
即y=－x2+6x－3=－（x－3）2+6．
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
（2）解得点B（3+，0）．
设点P的坐标为（3，y），如图，
由勾股定理，得BP2=BC2+PC2，
即BP2=（3+－3）2+y2=y2+6．
∵L与x轴的距离是，
∴y2+6=（）2，解y=±．
∴所求点P为（3，）或（3，－）．
21．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得
∴所求抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．
（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC=5，令y=0．
则－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5．
∴B点坐标为（5，0），∴OB=5．
∵y=－x2+4x+5=－（x－2）2+9，
∴顶点M的坐标为（2，9）．
过点M作MN⊥AB于点N，则ON=2，MN=9．
∴S△MCB=S梯形OCMN+S△BNM －S△OBC =×（5+9）×2+×9×（5－2）－×5×5=15．
22．（1）∵A（0，1）．
∴B点纵坐标为1，1=x2，x≥0，x=1，B（1，1），AB=1．
C点纵坐标为1，1=x2，x2=4，x≥0，x=2．
C（2，1），BC=1，∴AB：BC=1：1．
（2）D点的横坐标为2，D在y=x2上，则D（2，4）．
E点的纵坐标为4，E在y=x2，则E（4，4）．
过O（0，0），B（1，1）的直线解析式为y=x．
E（4，4）在这条直线上，所以O，B，E三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x．