1、15.4角的平分线教学目标【知识与技能】1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.【过程与方法】1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感 、态度与价值观】1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.重点难点【重点】角平分线的性质定理及其逆定理.【难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.教学过程一、创设情境,导入新知师:同学们知道
2、怎样作出角的平分线吗?生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出AOB的平分线.作法:1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).3.作射线OP,则OP为所要求作的AOB的平分线,如图(3).师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”由于这一点可能在直线上或直线外,这个作图要分两种情况:1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB上一点C,如图(1).求作:AB的垂
3、线,使它经过点C.作法:作平角ACB的平分线CF.直线CF就是所求的垂线.2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C,如图(2).求作:AB的垂线,使它经过点C.作示:(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;(2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;(4)作直线CF.直线CF就是所求的垂线.教师边操作边讲解:用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?学生操作.师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次
4、对折后的折痕是什么?生:是这个角的平分线.师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?生:一样长.师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?学生思考后回答.问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项OP平分AOB,PDOB,PEOA,垂足分别为D、EPD=PE(推证定理1)问题3:根据下表中的图形和已知事项
5、,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项DEAB,BCAC,垂足分别为E、C,DE=DC.DAE=DAC问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.(推证定理2)三、练习新知,加深理解师:下面我们接着来探讨上面的问题3.教师多媒体出示:(1)AD平分BAC,DCAC,DEAB,(已知)DC=DE.()(2)DCAC,DEAB,DC=DE,(已知)点D在BAC的平分线上.()学生思考后抢答,教师板书.第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.教师多媒体出示:【
6、例1】已知:如图所示,C=C=90,AC=AC.求证:(1)ABC=ABC;(2)BC=BC.(要求不用三角形全等判定)学生思考后交流讨论.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.证明:(1)C=C=90,(已知)ACBC,ACBC.(垂直的定义)又AC=AC,(已知)点A在CBC的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)ABC=ABC.(2)C=C,ABC=ABC,180-(C+ABC)=180-(C+ABC).(三角形内角和定理)即BAC=ABC.BCAC,BCAC,BC=BC.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)【例2】已知:如图,ABC中,B、
7、C的平分线BE、CF相交于点P.求证:AP平分BAC.证明:过点P分别作PMBC、PNAC、PQAB,垂足分别为M、N、Q.BE是B的平分线,点P在BE上,(已知)PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)同理PN=PM.PN=PQ.(等量代换)AP平分BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)四、课堂小结师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获?学生回答,教师点评.教学反思本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.
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