1、19．3 正方形
教学目标
一、基本目标
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理．
2．会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明．
二、重难点目标
【教学重点】
探索正方形的性质与判定．
【教学难点】
掌握正方形的性质与判定的应用方法．
教学过程
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P119～P120的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．正方形的性质：
(1)边：四条边都相等且对边平行．
(2)角：四个角都是直角．
(3)对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
(4)正方形
2、既是中心对称图形，又是轴对称图形，正方形有四条对称轴．
2．正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．
3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( D )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是 ( C )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO
3、AB＝BC
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)先用观察法，结合图形直观地猜测出BE与DF之间的关系，再利用已知条件，对猜测进行证明．
【解答】BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
如题图，延长BE交DF于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°.
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△D
4、CF.
∴BE＝DF.
∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用方法．
【例2】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
【互动探索】(引发学生思考)由BF∥CE，CF∥BE→四边形BECF是平行四边形，再结合矩形ABCD的性质→四边形BECF是菱形→再由∠BEC＝90°，即可证得结论．
【证明】
5、∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴平行四边形BECF是菱形．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．菱形、矩形、正方形都具有的性
6、质是 ( C )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
2．正方形面积为36，则对角线的长为( B )
A．6 B.6
C．9 D．9
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( C )
A．14 B.15
C．16 D．17
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．
证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．
7、∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连结AE、CE.
(1)求证：AE＝CE；
(2)若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．
【互动探索】(1)结合已知条件和图形，要证AE＝CE，只需证明△ABE≌△CBE.(2)由折叠的性质得出∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，由直角三角形斜边上的中线性质，得出四边形AFBE是菱形，进而得出结论．
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方
8、形，
∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°.
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE.
(2)解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形．理由如下：
由折叠的性质得：∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，
∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD＝BE＝DE，
∵AE＝CE，
∴AE＝BE＝CE＝DE＝AF＝BF，
∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是正方形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)图形翻折前后，对应边相等，对应角相等，结合特殊平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质求解此类题型．
环节3 课堂小结，当堂达标
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