1、24.6.1正多边形与圆课 题24.6.1正多边形与圆教 学目 标1使学生理解正多边形概念2使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形3通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；4通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力教材分析重 点n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形难 点对正n边形中泛指“n”的理解教 具电脑、投影仪教学过程（一）、新课引入1.同学们还记得怎样画五角星吗？（让一学生回答）这节课我们就来研究这样画的道理。2.思考以下问题：1等边三角形、正方形的边、角各有什么性
2、质？等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形正多边形与圆有什么样的关系？这就是我们今天学习的内容（板书课题）（二）、新课讲解：1.多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形我们以n=5的情况进行证明已知：O中，AB =BC =CD =DE =EA ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的O的切线求证：（1）五边形ABCDE是O的内接正五边形； （2）五边形PQRST是O的外切正五边形 （
3、1）思路分析:要证五边形ABCDE是O的内接正五边形，就要证明这五边形的五条边相等五个角相等，利用在同圆中，弧等弦再证角相等。证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的如果n等分圆周，(n3)、n=6，n=8是否也正确呢？因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性（2）思路分析：由弧等推得弦等、弦切角等说明五边形PQRST的各角都相等各边都相等？前面同学的证明，说明“经过圆的五等
4、分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形证明：（见课本）说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形；经过圆的n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形 (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多
5、边形正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加定理(2)中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？2.等分圆周的方法画正多边形（1）用量角器等分圆：依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差（2）用尺规等分圆：对于一些特殊的正多边形还可以用
6、用尺规等分圆作正四边形、正八边形教师组织学生，分析、作图归纳：只要作出已知O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与O相交，或作各中心角的角平分线与O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形作正六、三、十二边形教师组织学生，分析、作图归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画（三）、巩固练习 课本第49页练习、2、3.（四）、课堂小结：1学习了正多边形的定义2n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形3.用量角器等分圆周作正n边形；4.用尺规作正方形由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12变形、正三角形。布置作业练习册习题教后记本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。
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