七年级数学下册 鸡兔同笼教学案例及反思 北师大版.doc

鸡兔同笼教学案例及反思
　　一、 教学缘起
　　今年再次接手初一公费班。公费班的学生是经过选拔挑选而来的，他们的数学基础相对较好。开学伊始，我想进一步激发学生学习数学的热情和兴趣，同时也想借机对学生的小学数学基础及数学思维能力进行一次验查，以了解新班学生的学习氛围，于是我精心选择了执教多次的“鸡兔同笼”为课题。
　　二、教学设计
　　1. 提出“鸡兔同笼”古代著名趣题，简单介绍背景，介绍我国古代辉煌的数学成就。
　　2. “鸡兔同笼”问题，你是怎么想的？交流一下你的数学思维方式，同时也可以谈谈你的困惑及你的感悟。
　　3. 本课内容的教学不刻意设置教学流程，源自教师对教学内容的深刻理解和把握，完全采用课堂实时生成的教学方式，开放式教学，对话式交流，结合教师讲解，去真实了解学生所思所想，比较、归纳，渗透数学思想方法，达成教学目标。
　　三、 教学实录
　　（2009年9月2日实验学校710班）
　　师：你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？
　　生：听过。（学生齐口同声。这有点出乎老师意料，本以为可能只有部分学生了解，想不到己落俗套，从表情上看，个别同学似乎有些不屑一顾。）
　　师：那么哪个同学告诉我，这个问题最早载于古代什么书，书中的原话是如何叙述的？
　　（课堂一下子安静了。没有人能回答这两个问题。这些学生都自视甚高，老师不耍些手段“镇”住，老师的威信无法建立。
　　师：那么我来告诉你，这个问题见于1500年前的唐朝的一本算书《孙子算经》，原文：“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？”
　　（教师板书）
　　师：你会解答这个问题吗？说说你的思路？
　　（全神贯注的学生，刷地举起了小手，只有少数几个学生还在思考，没有举手，这又出乎老师意料，现在学生真厉害！？）
　　生甲：我设鸡有x只，则兔有（35-x）只，可列方程2x+4（35-x）＝94，解得x＝23（只），从而可得兔数为35-x＝12（只）。
　　（学生回答非常流利，老师代为板书。）
　　师：真好！连方程都会了？方程在初中可要在第五章才学呢。（学生嘿嘿笑，挺自豪。）可老师要说，古人没有方程知识，未知数用x替代也是近100年才引进的。不用方程，你还会用其他方法解吗？（学生依然齐刷刷举手。）
　　生乙：假设把鸡当成兔，鸡就有4只脚，总共应该有4×35=140只脚，（140-94）÷2＝23，可求出鸡的只数。
　　师：还有其它方法吗？
　　生丙：我是把兔当成鸡，（94-2×35）÷2＝12，可求出兔的只数。
　　（学生回答之快，又出乎意料，算式熟练着实令老师吃惊。）
　　开课不足10分钟，这节课内容学生竟然已经掌握了，学生向老师提出了挑战，接下去的课上什么？要不是有二十多年教龄，我可能会措手不及。
　　师：你们真棒，都这么聪明啊？那老师不用教了？

　　生：小学里不知学了多少遍了，都会背了。
　　（学生大笑。原来如此！）
　　师：有几个同学还在思考这个问题，××同学，你能告诉我还在想什么？
　　（我终于发现班上还有几个没举手发言的学生，以此作为契入点。）
　　生：（瘦小个子，怯生生地说）老师，我还是不太懂，我有点想不明白，鸡就是鸡，兔就是兔，鸡怎么可以当成兔，兔又怎么可以当成鸡？（有几个学生发出笑声。）
　　师：是有点难理解，本来鸡就是鸡，兔就是兔嘛。这样吧，我来想个办法，来帮助你理解，好吗？鸡不当兔了。我呢，把这笼鸡兔放到另一个笼子，抓出兔，直接放进去，抓出鸡，我给他装上2只假腿放进去。这样，你来想想，另一个笼子鸡兔共有几条腿了，有几条是假腿，有几只是鸡？（为了形象，老师做了个抓、装手势。）
　　生：老师我明白了，（4×35-94）÷2＝23。
　　（课堂气氛开始热烈，同学们觉得有趣。）
　　师：我发现还有一个同学在沉思，是不是还没听明白？他在想什么呢？××同学，你来说说。
　　生：（一怔站起）老师我在想，鸡的假腿是怎么装上去的？（全班哄堂大笑。）
　　师：（也乐！）这倒是，老师只是说说，其实也不会装。（又一次哄堂大笑。）
　　师：看来，这个方法不好，因为没人会装假腿。老师换个办法。
　　我把每个兔子砍去二条腿，大家再来看看好吗？
　　生：那还不是一样，（94-35×2）÷2＝12。（但也有个女学生皱眉嘀咕。）
　　师：××同学，你好像不喜欢这个方法，你想什么呢？
　　生：兔子是很可爱的，你不能拿刀砍她，血淋淋的，太可怕了。我情愿不做这个题目，也不愿想象这种情景。
　　（对啊，人和动物和谐相处嘛，有学生赞同，课堂上议论纷纷，也有人说：那只是假设，又不是真的。也有学生说：恐怖的东西假设也不行！）
　　师：看来，传统的方法受到了质疑，那我们一块来想个好办法好吗？
　　生：好！（学生们纷纷动起了脑筋。）
　　生：有了！人和动物心灵相通。我只要对着笼子喊一声：“兔子们，站起来！”答案就出来了！
　　师：（老师模仿兔子，做了个站立动作）真是太妙了！
　　（全体同学心领神会，发出开心的笑声。）
　　师：我把方程法叫做外国方法，我把算术法叫做中国方法，大家来比较一下。（一石激起千层浪，课堂上开始议论纷纷，甚至有了争论。）
　　生：我认为中国人最聪明，不用方程，只要假设、比较、推理，解答方法都很巧妙。
　　生：我认为外国人更聪明，方程是顺向思维，简单好理解，降低了思维难度，工作量只是计算，那是机械化的，每个人都会。
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　　师：中国的的方法为什么要假设？不假设行吗？怎样假设？如何比较？怎样推理？
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　　（学生的学习兴趣越来越高，探讨越来越深，重新对已学过方法进行反思，许多数学思想方法不知不觉在头脑中萌芽。）
　　（临近课末，有一个学生高高举手）
　　生：老师，我想知道《孙子算经》里是怎么解答这个问题的？
　　众生：是啊，这个小学里老师没教过啊！
　　师：这个同学问得好！我们的古人是这样来解答的：假设，每只鸡是“独脚鸡”，每只兔都是“双脚兔”，这样：①鸡和兔的脚总数由94变成了47只；②如果笼子里有一只兔，脚的总数就比头的总数多1，因此，脚的总数47与总头数35的差，就是兔的脚数。
　　（稍沉思后，学生们对这个解法赞叹不已，想不到还有如此妙解）
　　师：这个思想是新颖而奇特，令外国人也惊叹，你看，我们先辈有多聪明，将来大家学了初中数学，会渐渐明白，这种思维方法叫化归法。化归法解决问题时，先不对问题进行直接的分析，而是对题中条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归类到已经解决的问题。
　　今天作业：请同学们谈谈你对“鸡兔同笼”问题的感想或再认识。
　　生：好！（下课铃响了，同学们仍意犹未尽，议论着纷纷走出教室。）
　　四、教学反思
　　1.预设成功与动态生成
　　所谓预设成功是指教师按预设教案，采用讲解、引导较顺利地完成教学计划，达成教学目标。传统教学的亮点往往是预设成功。然而这堂课不是，这堂课是生成成功（当然生成成功源于预设成功）。动态生成是教师在课堂上以学生有价值，有创见的问题与想法等细节为契机，及时调整、改变预设，以学生思维认知需求为顺序展开教学而获得成功。从这节课上看，如果教师没有对教学内容的深刻理解，没有丰富素材淮备，面对这样“聪明”的学生必然会手足无措，无以应对。事实证明：凡事预则立，不预则非，只有充分设计，才能临危不乱，运筹帷幄。再熟的教学内容，面对不同的学生，同样也会出现意外，只有教师深入备课，备学生、备教材、备意外，即备课时，尽可能想象可能出现的问题与应对策略，根据自己对学生的认知水平、思维特征预先深入了解，才会预设充分。即使意外，也能想出应对策略，及时化解。本节课堂动态生成，教学成功，是教学经验与教学智慧积累，是千载难逢的一次意外“惊喜”。
　　2.钻研教材与教学机智
　　没有金刚钻，难揽瓷器活。正是由于教师自认为对教学内容的熟悉，才尝试打开思维空间，实现动态生成。动态生成，既是教学经验的积累，更是教学机智的体现。杜威说，每个老师都是带着自己的哲学思想走向课堂的。愈是优秀的教师，教案设计广度、深度、质量愈高，才能预设成功，才能动态生成。教学机智是教师驾驭课堂的“技术”，也是教师“折服”学生的“撒手锏”。只有教学机智，才能及时转化矛盾，化解尴尬，使课堂教学出现亮点，呈现升华。一般来说，教学机智表现在以下六个方面：机智“引入”；机智“梳理”；机智“转化”；机智“点拨”：机智“应变”；机智“发现”。以此让学生吸引注意，思考问题，解决问题，发现规律，思维升华，拓展迁移，提升数学思维及技能。
　　3.认知差异与个体感受
　　学生是一个完整的人，除了认知，还有自己的情感、意识和态度，也有自己的心理需要，尤其是个人独特情感、自尊的需要，如果说学生提出“鸡就是鸡，兔就是兔，鸡怎么可以当成兔？”是学生个人认知水平发展的差异，也是已有知识经验对现实世界的理解不同，那么学生提出“假腿怎么装”，“兔腿不能砍”是个人情感的差异。以往的教学，过份重视了知识、技能（问题解决），而忽略了个人情感，从而对教学效果产生影响，也阻碍了教师教学方法探究与创新。所以，教师在课堂教学中，一定要尊重每个学生独特的感受和理解，不歧视，不讥笑，即使最低级，最幼稚，最天真的问题，都要“蹲”下来，站在学生的高度去理解，去再思考，去再认识。而一旦学生自尊，情感得到尊重、理解，他们参与对课堂教学的贡献也是独特的，这样的课堂，才能成为学生发挥个性的天地，成为快乐学习与自我赏识的乐园。
　　4.数学思想与数学建模
　　本节课教学内容，给出了算术法和代数法比较。如果把假设法说成传统的中国式方法，那么具有现代数学思想的代数法叫做外国式方法。用列方程的代数方法解鸡兔同笼问题，不需要复杂的思维、推理，只需找到等量关系，列出方程。学生在思维上容易掌握理解，随着数学难度的激增，代数的优势将日趋明显，所以我们要重视列方程解应用题的代数方法。我们通过观察画图想象得出假设法，不能到此为止，应该让学生思考，我们是用什么方法解决的？假设的目的是什么？怎样假设？用层层递进的方法追问，让学生逐步明晰假设的算术思想方法。
　　我们在带领学生经历这些学习过程中不断归纳，总结、反思，最终目的是要建立各种数学模型，发展学生思维。
　　假设法：假设—比较—推理—解答。
　　代数法：找等量关系—列方程—解方程。
　　5.经典教法与现代学法
　　“鸡兔问题”的经典教法，生动也好，抽象也好，作教师的不可一讲了之，做学生的也不能一笑了之。因为这些教法与我们现代的学法是紧密联系的，它蕴含着数学思想的提升，对我们以后随着认知水平提升，灵活运用，解决数学问题十分有用。
　　（1）“鸡当成兔”。小学生疑惑，“鸡就是鸡”，“鸡怎么能当成兔”？后来学生长大了，也学会了把“鸡”当成“兔”。
　　例1 关于x方程a2x2+ax+1-7a2=0两根都是整数，求所有满足条件的正数a。
　　解：把a当成未知数，得（x2-7）a2+ax+1＝0.
　　△=x2-4（x2-7）≥0.   即x≤9.（x取整数）
　　∴x仅为±3，±1，±2，0.  代入可求得a.
　　（2）“鸡绑假腿”。学生觉得绑假腿挺好玩，但麻烦，也有的不会绑。后来学生长大了，也会学会“绑假腿”。
　　例2 化简
　　（3）“兔站起来”。学生们觉得让“兔”站起来很有创意。后来，学生长大了，也会学会让“兔”站起来，甚至还会让“兔”翻跟斗。
　　例3证明对于任意自然数n，分数
　　五 、教学反馈
　　课余布置了“谈谈你对‘鸡兔同笼’问题的再认识”，同学们都兴致勃勃地上交了自己的一份作业，现摘录几份学生作业，看看学生感受。
　　马齐婕：鸡兔同笼是古今典型的趣题，主要难点在于脚只数差异，以致难以计算。外国人是顺向思维，用方程来解决问题。但方程方法有时过程较繁。而中国是逆向思维，用算术方法解决问题，十分方便。外国人采用了代数法，未知数用字母代替，思维却十分简单；中国人采用了假设法，思维很严密。假设法分为三种：把鸡看成兔；把兔看作鸡；鸡兔脚数量各减半。方程简单容易，通俗易懂；算术复杂多变，思维要求高，假设法主要用了转化方法，值得回味。
　　岑瀛：鸡兔同笼的问题传承了中华民族几千年历史，是《孙子算经》中的经典数学题，解法很多中国人善用算术假设法，外国人喜用列方程解答。我认为两种方法各有千秋，中国人方法相对复杂，外国人方法相对简单，不需太多动脑，方便而易于理解。但我认为中国方法更加成熟和深刻，用算术法解，要学会比较，会推理，才会得到答案。其中一番深思熟虑，不仅要学会思考，更要有严密的逻辑推理。
　　林锴：“鸡兔同笼”解法有两种，代数法和假设法，而假设法分为四种：①每只鸡装2只假腿②每只兔子割下2只腿；②鸡兔各割去一半脚；④兔子抬起2只脚，而这些前提都是假设。这两种解法比较，外国人是用方程顺向思维方式，中国人用逆向思维方式。由此可以发现，外国人注重实用，简单易学，而中国人重思维重过程计算，正是由于两种不同的对待问题的思考方法，造就了两种不同社会，及不同生活方式。
　　毛锴歌：1500年前古题解法，可以看出中外文化、思想的差异。外国人的代数式以简捷、直观的方式，用“x，y”来表示各个未知数，真的很方便。中国的假设法，灵活多变，趣味盎然，以含蓄著称。中国法灵活，外国法机械。中国人用假设法来消除差异，化难为易，值得思考。我觉得，我们用方程之余，更要用中式高强度来锻炼思维。
　　张滔：我认为用方程来解答是最恰当的，顺向思维，简洁明了，十分易懂。代数法犹如体操，人人易做，便于推广。假设法的假设性很强，犹如杂技和魔术，可供欣赏，不便推广；我们在赞扬中国古代成就时，更要虚心学习西方的先进东西。