七年级数学上 有理数的意义在数轴上的表示教案.doc

一. 教学内容：
有理数的意义在数轴上的表示

二. 重点、难点
1、有理数的意义表示及计算（主要指正数之间的运算）
2、有理数的分类
3、数轴的画法以及数在数轴上的表示
4、相反数的概念及意义

【典型例题】
（一）本学段要求正的有理数的表示和计算，学会判断一个数是正数还是复数。
例1. 用1、2、3、4这四个数字，你能写出多少个各位数上的数字互不重复的四位数？并写出这些数中千位是“1”的四个数
分析：此题实际上是对1、2、3、4这四个数进行排列的问题，不妨先假设千位数字为1，百位数字为2，这样的数字就是1234和1243两个数，当千位数字为1，百位数字为3时这样的数字有1324和1342：同理，可得，千位数字为1的四位数有6个，那么总的四位数是6个。
解：有24个，千位数字是1的四位数是1234、1243、1324、1342、1423、1432

例2. 计算：
分析：按常规的思路，原式＝，要继续计算，必须先通分而最简分母比较大，计算量很大，容易出差错。分析代数式特点：
可知
解：原式＝
＝
＝
＝

例3. 1规定海面以上的高度为正，则海鸥在海面以上2.5米处可记为 ；鱼在海面以下3米处，可记为 ；海面的高度可记为 ；2记运入仓库的大米吨数为正，则—3.5吨表示 ；2.5吨（+2.5吨）表示 。
分析：在遇到具有相反意思的量，如表示温度有“零上”和“零下”，路程有“向东”和“向西”，水位变化有“升高”和“降低”等等，我们通常规定一种意义的量为正，另一种与之意义相反的量为负。
解：（1）+2.5米 —3米 0米
（2）从仓库运走3.5吨大米，运入仓库2.5吨大米

例4. 脏衣服在擦好肥皂揉搓充分之后，一般先把衣服拧干，再进行漂洗。假设拧干后衣服中还留有含污物的水1千克。
方法一：直接把衣服放入10千克清水中，一次漂洗。
方法二：把10千克清水分成两份，一份3千克，一份7千克，分两次漂洗。
（1）你会选择哪一种方法来漂洗？为什么？
（2）你还有更好的漂洗方法吗？
分析：（1）假如直接把衣服放入10千克清水中，则共有11千克水，拧干后衣服中含污水千克，把衣服分为两次清洗，第一次清洗拧干后含污水千克，第二次清洗后含污水＝，显然第二种方法含污水量少。
（2）可分为三次清洗，如把清水分3千克，3千克，4千克，这样，清洗后含污水＝
解：（1）我们会选择第二种方法来漂洗，因为第一种含污水千克，第二种漂洗后含污水千克。
（2）可把10千克清水分三份3千克，3千克，4千克进行清洗。

（二）有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
分类（一）有理数
分类（二）有理数

例5. 下列说法正确的是（ ）
A. 整数，分数和负数称为有理数 B. 有理数分为正有理数和负有理数
C. 正整数都是整数，整数都是正整数 D. 0是整数，也是自然数
分析：答案A分类时有重复，应改正为：整数和分数统称为有理数。
答案B分类时有遗漏，应改正为：有理数包括正有理数、零、负有理数。
答案C分类时正整数和整数在有理数系中属不同的等级，不是相同的概念，应改正为：正整数都是整数，但整数不都是正整数。
答案D是正确的。
解：选D

例6. 下列结论中正确的是（ ）
A. 0既是正数，又是负数。 B. 0是最小的正数。
C. 0是最大的负数。 D. 0既不是正数，也不是负数。
分析：0是一个特殊的数，它既不是正数，也不是负数。
解：选D

例7. 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”

正整数
整数
分数
正数
负数
有理数
2005
√
√

√

√

－4.9

0

－13

解：答案如表格所示：

正整数
整数
分数
正数
负数
有理数
2005
√
√

√

√

√
√

√
－4.9

√

√
√
0

√

√
－13

√

√
√

（三）数轴的三要素，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴是数形结合的基础，任何一个有理数都可以用数轴上的一个确定的点来表示，反之，由数轴上一点，会识别相应的有理数。
例8. 观察下面四个图形，指出哪个数轴画得正确，错的错在哪里？

分析：判断数轴画得正确与否就看两点：一是“三要素”是否都符合；二是单位长度是否统一。
解：（C）画的正确 A、B、D都有错，A是单位长度不统一，B是没有原点，D是没有正方向

例9. 画一条数轴，并把－4，1，0，－2，4表示在数轴上
分析：要表示最左边的数是4，最右边的数是－4，所以在画数轴时，在原点的两侧各5，4个单位即可

反思：描写时应用小圆实心点描在数轴上，当要表示非整数时，如－2，4应把相应的数写在数轴上面。
再思考，画一条数轴并把－100，0，50，100表示在数轴上。

例10. 在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3米和7.5米处分别有一槐树A和一棵杨树B，汽车站向西3米和4.8米处分别有一棵槐树C和一根电线杆D，试用数轴表示这一情景。
分析：假设以汽车站作为原点，则A（+3） B（+7.5） C（－3） D（－4.8）

反思：当然，本题的答案并非是唯一的，可以以A为原点。

例11. 数轴上一点A位于原点右侧，且距原点3个单位长度，将点A向左移动4个单位长度，此时A点表示的数是什么？
分析：这类题目是典型的数形结合的题目，应首先画出数轴，找到相应的A点为－3，然后根据要求找到相应的点。

解：A点表示的数为－1

利用数形结合的方法也可解决下面例题：
在数轴上，到原点的距离不大于3的整数有 个，其中非负数有 个
如两个数只是符号不同，那么我们称其中一个是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数（除0外）的两个点。
（1）位于原点的两侧 （2）并且到原点的距离相等

例12. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个数的相反数是负数
B. 表示相反意义量的两个数互为相反数
C. 若两个数互为相反数，则这两个数不是正数就是负数
D. 相反数大于它本身的数是负数
分析：A. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
B. 如向东走10米与向西走5米，向东为正，则10米与－5米不是互为相反数。
C. 0的相反数不是负数，是0。
D. 是正确的。
解：选择D

例13. 如图点A，在数轴上找出表示A的相反数的点B

分析：在数轴上，表示互为相反数（除0外）的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等，所以B点必须在原点左边，并且OA＝OB

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、填空：
1、小明把西瓜平均切成6块，送给爷爷，则爷爷有 块西瓜
2、把下列各数填写在相应的横线上
－5，0.05，－，－4.2，25， －35，8.2，0，+1，10%
整数 分数
正整数 正分数
正数 有理数
3、若前进5米记作+5米，则－4米的实际意义是
4、一种零件的零件直径尺寸在图纸上的表示是30（单位毫米）表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸的 毫米

二、选择
1、下列说法正确的是（ ）
A. 记向东行为正，－20km表示向西－20km
B. 正有理数和负有理数统称为有理数
C. 整数和分数统称有理数
D. 温度上升2度记作+2度，则－3度表示零下3度
2. 小于4的负整数有（ ）
A. 无数个 B. 3个 C. 2个 D. 4个
3. 某粮店出售的三种品牌面粉，分别标有（2.50.1）kg，（2.50.2）kg，（2.50.3）kg，的字样，现从中任意拿出两个袋，它们的质量最多相差（ ）
A. 0.4kg B. 0.5kg C. 0.6kg D. 0.8kg

三、解答题
1. 一个长方形，长增加25%，要使面积保持不变，宽应减少百分之几？
2. 通过观察数轴，回答下列问题：
（1）存在最小的正整数吗？存在最大的正整数吗？若存在，把它找出来
（2）存在最小的负整数吗？存在最大的负整数吗？若存在，把它找出来
3. 如图所示
（1）点A到点B的距离是多少？
（2）点M到A，B的距离之和是多少？
（3）点M在A，B之间移动时，M到A，B的距离之和是多少？

试题答案
一、1、2 2、略 3、后退4米 4、0.03
二、1、C 2、A 3、C
三、1、20%
2、（1）最小的正整数是1，没有最大的正整数。
（2）没有最小的负整数，有最大的负整数－1。
3、（1）7 （2）7 （3）7