九年级数学上24.3相似三角形的性质教案（沪科版.doc

24.3相似三角形的性质学习指导1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质.举例如下.例1如图1，已知ABCABC，点D、D分别是BC、BC的中点，AEBC于E，AEBC于E.求证：DAEDAE.分析：欲证DAEDAE，只需证RtADERtADE即可.证明：ABCABC，BDCD，BDCD， AEBC，AEBC.图1 (相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比).RtADERtADE.DAEDAE.例2已知如图2，ABC与ABC中，CC90，AA， BC6，AC8，ABC的周长为72.求ABC各边的长.图2解：在RtABC中，AB10.ABC的周长681024.CC90，AA，ABCABC，.即AB30， BC18，CA24.说明：由已知条件知ABCABC，已知ABC各边的长，要求ABC各边的长，只要求出相似比即可.例3如图3，四边形ABCD中，ADCACB90，且AB18，AC12，AD8，CEAB，DFAC，垂足为E、F.(1)求的值；(2)求证：CECD.分析：由题设可知，DF、CE分别为ACD和ABC的高，因此只要证得ACDABC，根据相似三角形的性质即可求得.(1) 解：AB18，AC12，AD8， .AECAFD90，RtABCRtACDCEAB，DFAC.(2)证明：RtABCRtACD，BACCAD. 图3CEAB，CDAB，CECD.例4已知，如图4，ABC中，OB、OC分别平分ABC、ACB，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E.求证：BC2=DE(AB+BC+AC)分析：由ODAB，OEAC知ODEABC，要证结论中有ABC的周长，从而想到了利用相似三角形的周长比等于相似比证题.证明：ODAB4=ABC，1=3又1=2，2=3，BD=OD同理可证：OE=CEOEAC，5=ACB，ODEABC图4即 BC2=DE(AB+BC+AC)说明：相似三角形的性质较多，究竟选择哪个性质，需要根据结论的特征灵活选择.例5求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知：如图5，ABCABC，ABC与ABC的相似比为k.求证：=k2图5分析：根据三角形的面积公式“三角形面积等于三角形的一边乘以这边上的高的一半”可先作出BC和BC边上的高，再根据相似三角形对应高的比，对应边的比都等于相似比即可证出.证明：分别过A、A作BC、BC的垂线，垂足分别为D、D.ABCABC=k(相似三角形对应边的比、对应高的比等于相似比)说明：此结论在原教材中是定理，现已删去，对此结论在解决填空题和选择题中可直接应用.但在求解题中要写出推导过程.例6如图6，正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CD延长线上一点，且FEC=FCE，EF交AD于F.求证：SAEP=4SPDF.分析：AEPPDF易证，要证出SAEP=4SPDF，关键证其相似比为21. 图6证明：过F作FGCE与G，则CG=CE四边形ABCD是正方形 ABCD，AB=BC=CD，B=90 BEC=FCE，B=FGC=90 BCEGFC设AE=BE=x，则BC=CD=AB=2xCE=DF=ABCD，AEPDFP，=4，SAEP=4SDFP说明：有等腰三角形时，常作底边上的高构造三线合一的基本图形，另外该题还可延长AB至N，使BN=BE，边结CN，再证CENFEC，请读者自己完成.2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题，举例如下.例7如图7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C90，AC12cm，BC5cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在ABC的边上，那么顶点落在边上时有如图8、9两种情况.图7 图 8 图9解：如图8，设正方形EFGH的边长为xcm，过C作CDAB于D，交EH于点M.ACB90，AC12，BC5，AB.ABCDACBC，CD.EHAB，CEHCAB.即 (cm).如图9，设正方形CFGH的边长为ycm.GHAC， (cm).xy，应按图9裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为cm.