1、第四章 4.3.3余角和补角
知识点1:互余、互补
1.互余:如果两个角的和等于90°(直角),那么这两个角互为余角,简称互余,即其中每一个角是另一个角的余角.
数学语言:若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互余;
反之,若∠1与∠2互余,则∠1+∠2=90°.
2.互补:如果两个角的和等于180°(平角),那么这两个角互为补角,简称互补,即其中每一个角是另一个角的补角.
数学语言:若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互补;
反之,若∠1与∠2互补,则∠1+∠2=180°.
知识点2:余角、补角的性质
1.余角的性质:同角(等角)的余角相等.
若∠1+∠2=90°,∠
2、1+∠3=90°,则∠2=∠3.
若∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,∠1=∠3,则∠2=∠4.
2.补角的性质:同角(等角)的补角相等.
若∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,则∠2=∠3.
若∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠1=∠3,则∠2=∠4.
知识点3:方位角
在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角.例如,图中射线OA的方向是北偏东60°;射线OB的方向是南偏西60°,这里的“北偏东60°”和“南偏西60°”是用来表示方向的角,叫做方位角.它是指正北(或正南)方向线与目标方向线之间所夹的锐角.
(1)习惯上把南或北写在前,东或西写
3、在后,用两个方向表示,如“北偏东××度”“北偏西××度”“南偏东××度”“南偏西××度”.
(2)习惯上,北偏东45°称为东北方向;北偏西45°称为西北方向;南偏西45°称为西南方向;南偏东45°称为东南方向.
考点1:互余、互补的定义
【例1】 已知∠1=30°,则∠1的补角的度数为 度.
答案:150
点拨：本题考查了补角的定义,解题时牢记定义是关键.
考点2:列方程求角
【例2】 一个角的补角是它的余角的4倍,则这个角等于 度.
答案:60
点拨：设这个角为x°,则根据题意,得180°-x°=4(90°-x°),所以180°-x°=360°-4
4、x°,所以x°=60°.
根据一个角与它的补角的和是平角,与它的余角的和是直角,设这个角为x°,则它的补角是180°-x°,余角是90°-x°,由题目中所给的数量关系列出方程,便可以解决问题.
考点3:简单的推理
【例3】如图,已知∠CDF=∠OEF=90°,CE与OA相交于点F,若∠C=20°,求∠O的大小.
解:因为∠CDF=∠OEF=90°,
所以∠O+∠OFE=90°,∠C+∠CFD=90°.
因为∠OFE+∠CFO=180°,∠CFD+∠CFO=180°,
所以∠OFE=∠CFD(同角的补角相等),
所以∠O=∠C=20°(等角的余
5、角相等).
点拨：∠OFE、∠CFD都是∠CFO的补角,根据同角的补角相等,可得∠OFE=∠CFD;又∠O与∠OFE互余,∠C与∠CFD互余,根据等角的余角相等,可得∠O与∠C相等.
考点4:方位角
【例4】如图所示,在O处测得北偏东30°的小岛A处有一暗礁区,为避开这一危险区,轮船在O处应改为向东北方向航行才能避开.
(1)在图中画出轮船的航线;
(2)求出轮船航线与OA的夹角.
解:(1)如图所示,作∠MON=45°,射线OM即为轮船的航线.
(2)由题意可得∠AON=30°,所以∠MOA=∠MON-∠AON=45°-30°=15°,所以轮船的航线与OA的夹角为15°.
点拨：方位角可看成将正北或正南方向的射线旋转一定角度形成的,东北方向就是北偏东45°的方向.
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