七年级数学上 基于已有知识初步探究不等式教案人教版.doc

一. 本周教学内容：
基于已有知识初步探究不等式

二、教学要求
（一）利用已有等式及其性质、数轴与有理数大小比较、方程的解、一元一次方程等知识初步探究不等式、不等号、不等式的性质、不等式的解集及如何在数轴上表示，掌握生活中常见的“大于”、“超过”、“不超过”等表示不等关系的词语和一些数学术语准确翻译为数学符号；
（二）通过在数轴上直观表示不等式的解集，加强数形结合的思想意识；
（三）初步掌握类推与对比的学习方法，为今后的学习打下基础。

三、重点及难点
（一）重点
1、不等式的性质
2、常见表示不等式关系的词语与一些数学术语翻译为数学符号
3、在数轴上表示不等式的解集
（二）难点
不等式的解集及其如何在数轴上表示。

四、课堂教学
1、等式与不等式
（1）用“=”号表示相等关系的式子叫做等式；用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式。不等号中常见的有五种：“≠”、“≤”、“≥”、“<”、“>”。
“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边“不大于”右边；
“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边“不小于”右边；
“>”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大；
“<”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小。
注意：不等号的开口所对的数较大，不等号的尖儿所对的数小。相对于“=”号来说，这五种符号称做不等号。
在一些实际问题中有一些表示不等关系的词语，我们应能够转换为用上述符号表示。
如超过（多于）用“>”表示，不超过（不多于）用“≤”表示；低于（少于）用“<”表示，不低于（不少于）用“≥”表示。
如比大，可以表示为，对某种公共汽车规定“载容不超过20人”，设小公共汽车乘车人数为，表示为；如某天最高气温为10℃，最低温度为2℃，设这一天的气温为℃，则的大小可以表示为。
一些数学术语也要能够“翻译”为数学符号，如负数表示为“”，正数表示为“”，非负数表示为“”，非正数表示为。如与的和为负数表示为。
（2）本章主要研究用“≤”、“≥”、“<”、“>”表示大小关系且含有未知数的不等式。含有未知数的等式叫做方程；能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立；当未知数取某些值时，不等式的左右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式不成立。对于当取大于3的值时，如，此时不等式不成立。若，此不等式成立。
我们把能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如时成立，则2是的一个解。的解是否唯一呢？
2、在数轴上表示不等式的解集
2、1.5、0、－1、－2、……都是的解，这些解组成一个集合，称为不等式的解集。一个不等式的所有解组成的集合，简称为这个不等式的解集。
数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线，原点左边表示负数，右边表示正数，原点表示零。所有有理数都可以在数轴上找到唯一的一个点与它相对应，且数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
对于小于3的数值，可以在数轴上直观表示出来。这个范围即表示出了不等式的解集。

0 1 2 3

在数轴上表示3的点的左边的点所表示的数都比3小，即都为这个不等式的解，所有比3小的数表示在数轴上都为这一范围内。因此，这一范围表示了的解集。
注意：表示比3小，而不包含等于的意思在内。因此，在3这一点画空心圈表示不取表示3的这一点。
大于向右画，小于向左画。
若表示的解集，是指小于或等于3都使不等式成立，则表示3的这一点要画实心点，表示取表示3 的这一点，即：

表示为

表示为

表示的解集如何在数轴上表示呢？我们知道减去1后大于0的数必然大于1，因此，使成立的的值必为这一范围内，但是如何找到其理论依据呢？
3、等式的性质与不等式的性质
（1）等式的基本性质
①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的等式仍然成立；
②等式两边同乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得的等式仍然成立；
类比于等式的性质，我们来考察不等式的性质。
已知，则在不等式两边同时加上或减去同一个数，考查左边是否还小于右边。
、、……，由此类比于等式基本性质归纳不等式第一条基本性质：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
由于“≤”、“≥”、“<”、“>”具有方向性，所以叙述不等式基本性质时不能笼统地说成……不等式成立而应明确变形后不等号的方向是变还是不变。
类比等式的基本性质2，在不等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为0），

，……
由于不等式中不等号与等号不同，在同不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，而都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。类比于等式基本性质2产生了两条不等式基本性质。
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
类似于方程的解法，不等号两边同时加1，则可以得到，即。
特别注意第三条与等式的用法不同。
（2）不等式的基本性质用数学式子表示为：
如果，则（或），（其中为数或整式）；
如果，且，那么（或），（其中为正数）；
如果，且，那么（或），（其中为负数）。
等式的基本性质与不等式的基本性质比较，相同点是不管是等式还是不等式，都可以在它的两边加上（或减去）同一个数或整式。不同点是对于等式来说，在等式两边乘以（或除以）同一个正数（或一个负数）的情况是一样的——等式仍然成立。但是，对于不等式来说却不大一样，在用同一个正数去乘或除不等式两边时，不等号方向不变，而在用同一个负数去乘或除不等式两边时，不等号方向都要改变。这是不等式变形时特别要注意的地方。
4、一元一次方程与一元一次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程；类似的，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的不等式叫做一元一次不等式。我们本章学习的重点就在于一元一次不等式的解法，如、、、等。

【典型例题】
例1：用不等式表示
（1）哥哥存款元，弟弟存款元，兄弟二人存款总数少于1000元；
（2）今年父亲的年龄是40岁，儿子的年龄是13岁，年后父亲的年龄与儿子年龄的关系；
（3）是正数
（4）不是负数
（5）与8的和小于6；
（6）的一半大于6；
分析：（2）年后父亲的年龄是40+，儿子的年龄为13+，由不等式基本性质1不等式两边同时加上同一个数或整式，不等号的方向不变，年后父亲年龄仍大于儿子年龄。
（4）不是负数就是指非负数，用“≥”表示；
（6）注意，列代数式的要求。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）

例2：若，用不等号填空。
（1）
（2）-2 -2
（3）
（4）
分析：利用不等式基本性质（1）、（3）不等号方向不变，（2）不等号方向改变，（4）中要分两种情况分析，时，> ，时，= ，总结两种情况得≥ 。但反过来，> ，则不可能为0，则可有。
解：（1） >
（2）-2 < -2
（3） >
（4） ≥

例3：在数轴上表示不等式的解集。
分析：在-2和3之间，并且可以等于-2，在数轴上表示的点在表示-2和3的点之间，且表示-2的点处为实心点，表示3 的点处为空心圈。
解：

例4：根据下图，把所表示的解集用不等式表示出来。
（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）
（2）
（3）
（4）

例5：，用“>”、“<”填空。

分析：已知。由不等式性质3可知，，进而由不等式基本性质1可知，< 。
解： <

小结：
1、了解不等式的定义、五种不等号的读法及意义，能够由文字叙述不等式；
2、初步掌握不等式的性质；
3、了解不等式的解集的定义，能在数轴上表示不等式的解集。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
（一）判断
1、若，则。 （ ）
2、若，则。 （ ）
3、若，则。 （ ）
4、若，则。 （ ）
5、若，则。 ）
6、若，则。 （ ）

（二）列不等式
1、的与的2倍的和是非正数。
2、与4的和的15%不小于-2。
3、除以2的商加上2至多为5。
4、两数和的平方不可能大于3。

（三）用“<”“>”填空。
1、6+2 -3+2
2、 （）
3、 （）
4、 （）

（四）在数轴上表示下列不等式的解集
1、
2、

（五）用含有x的不等式表示下列数轴表示的不等式的解集。
1、

2、

3、

试题答案
（一）1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、× 6、√

（二）1、 2、
3、 4、
（三）1、 > 2、 < 3、 < 4、 >
（四）1、

2、

（五）1、 2、 3、

【励志故事】
尊严比生命重要
法国著名的将军狄龙在他的回忆录中讲过这样一件事：一战期间的一次恶战，他带领第80步兵团进攻一个城堡，遭到了敌人顽强抵抗，步兵团被对方火力压住无法前行。狄龙情急之下大声对他的部下说：“谁设法炸毁城堡，谁就能得到1000法郎。”他以为士兵们肯定会前赴后继，但是没有一位士兵冲向城堡。狄龙大声责骂部下懦弱，有辱法兰西国家的军威。
　　一位军士长听罢，大声对狄龙说：“长官，要是你不提悬赏，全体士兵都会发起冲锋。”狄龙听罢，转发另一个命令：“全体士兵，为了法兰西，前进！”结果整个步兵团从掩体里冲出来，最后，全团1194名士兵只有90个生还。
　　有时，尊严比生命更重要，但如果用钱去驱使他们，无异是奇耻大辱。