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七年级数学 一元一次方程
　　方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．
　　如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．
　　只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
　　解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．
　　 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：

　　(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
　　(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
　例1 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
　　分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．
　　解 把原方程化为
m2x+mnx-mn-n2=0
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．

　　当m+n≠0，且m=0时，方程无解；
　　当m+n=0时，方程的解为一切实数．
　　说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．
　　例2 解方程
(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．
　　分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．
　　解 将原方程整理化简得
(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，
　　 即 (a2-b2)x=(a-b)2．
　　(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解

　　(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．
　　例3 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．
　　解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以
m2-1=0，即m=±1．
　　(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为
199(1+4)(4-2×1)+1=1991；
　　(2)当m=-1时，原方程无解．
　　所以所求代数式的值为1991．
　　例4 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
　　解 将原方程变形为
2ax-a=3x-2，
　　即 (2a-3)x=a-2．
　　由已知该方程无解，所以

　　例5 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？
　　来确定：
　　(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．
　　(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．
　　(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．
　　解 按未知数x整理方程得
(k2-2k)x=k2-5k．
　　要使方程的解为正数，需要
(k2-2k)(k2-5k)＞0．
　　看不等式的左端
(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
　　因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．
　　例6 若abc=1，解方程

　　解 因为abc=1，所以原方程可变形为

　　化简整理为

　　化简整理为

　　说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
　　例7 若a，b，c是正数，解方程

　　解法1 原方程两边乘以abc，得到方程
　　ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得
ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]
+ac[x-(a+b+c)]=0，
　　因此有
[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．
　　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以
x-(a+b+c)=0，
　　即x=a+b+c为原方程的解．
　　解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到

　　其余两项做类似处理．
　　设m=a+b+c，则原方程变形为

　　所以

　　即
x-(a+b+c)=0．
所以x=a+b+c为原方程的解．
　　说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．
　　例8 设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：

　　分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)

　　 …，n[x]都是整数，所以x必是整数．
　　解 根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为

　　合并同类项得

　　故有

所以x=n(n+1)为原方程的解．

　　例9 已知关于x的方程

　　且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
　　解 由原方程可解得

a最小，所以x应取x=160．所以

　　所以满足题设的自然数a的最小值为2．

初一第七讲一元一次方程课堂练习（四）
一、填空题
1. 已知方程，则解得x的值是 。
2.若a,m均为整数,且满足(a-m)(5-a)=1,那么m的值是___________
3. 关于x的一次方程(a-b-c)x3+(2a-b-4c)x2+abx+c2=0有唯一解,则它的解是________.
4.是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x= 。
5.如果且是关于x的同解方程，则a的值是 。
6.若，并且关于x的一次方程，有正整数解，则x= 。
7.关于x的方程的根是负数，那么k所能取的正整数是 __________
二、解答题
1.设x：y：z＝2：3：5，且x＋y＋z＝100，求x２＋y２＋z２
的值
2.解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
3.解方程

其中a＋b＋c≠0．
课堂练习（四）答案
一、 填空题
1. 解：

， ∴ x=4
2. 解：
3. 解：
4. 解：方程是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则
且。因此。
以代入得 x=1.5。
5. 解：由得5x=2a-7
由得 5x=-9a
因此 2a-7=-9a 得
6. 解：整理方程 ，
因为x是正整数，且，因此。
7. 解：要使方程的根是负数，必需 ，即 ，
故k所能取的正整数是1，2，3。
二、 解答题
1. 解：设x=2k, y=3k, z=5k

因此，
2. 解：当时，有，所以；当时，有2(x＋1)-(x-3)=6，所以x=1；当x＞3时，有

所以应舍去．

3.解：将原方程变形为

　　由此可解得
x=a＋b+c．
课后网上练习（四）
1.方程的根是x=________.
2.若则x＝＿＿＿＿＿．
3.方程　　的解
4.解关于x的方程
、 课后网上练习（四）答案
1. 解：经化简可得，解得x=319318 。
2. 解：

3. 解：

4. 解：化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
　　当a≠1时，