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利用一次函数选择最佳方案
(1) 根据自变量的取值范围选择最佳方案:
A、 列出所有方案，写出每种方案的函数关系式；
B、画出函数的图象，求出交点坐标，利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳。
（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：
A、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式。
B、根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围。
C、根据一次函数的增减性，确定最佳方案。
根据自变量的取值范围选择最佳方案:
例1、（2013山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是___________。
乙种收费方式的函数关系式是___________。
（2） 该校某年级每次需印制100∽450（含100和450）份学案，
选择哪种印刷方式较合算。

例2、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠，”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠，”已知全票价为240元，设学生人数为x，甲旅行社的收费为（元），乙旅行社的收费为（元）。
（1） 分别表示两家旅行社的收费，与x的函数关系式；
（2） 就学生人数讨论哪家旅行社更优惠；

例3、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办了海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时，两货运公司的收费项目和收费标准如下表所示：
运输工具
运输费单价（元/吨·千米
冷藏费单价（元/吨·小时）
过路费（元）
装卸及管理费（元）
汽车
2
5
200
0
火车
1.8
5
0
1600
注：“元/（吨·千米）”表示每吨货物每千米的运费；“元/（吨·小时）”表示每吨货物每小时的冷藏费。
（1） 设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为（元）和（元），试求出和与x的函数关系式；
（2） 若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应该选择哪个货运公司承担运输业务？

例4、（2013湖北襄阳）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球和羽毛球拍出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动。
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为元，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为元。请解答下列问题：
（1）分别写出和与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只有一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算：
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。

（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：
例5、（2013黑龙江牡丹江市）博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：

甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
（1）有哪几种进书方案？
（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？
（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案。

例6、（2013黑龙江）为了落实党中央提出的“惠民”政策，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套，投入资金不超过200万元，又不低于198万元，开发建设办公室预算:一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元。
（1） 有几种开发建设方案？
（2） 哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？
（3） 在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价，节省资金，每套A型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案。

例7、如今健身运动已成为时尚，某公司计划用库存的甲、乙两种部件组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐献给社区健身中心，已知组装一套A型、B型健身器材分别所需甲、乙两种部件个数及所需费用如下表：
型号
甲种（个）
乙种（个）
所需费用（元）
A型/套
7
4
20
B型/套
3
6
18
若该公司现有库存甲种部件240个，乙种部件196个。
（1） 该公司用现有库存部件组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案；
（2） 求出总组装费用最少的组装方案，最少组装费用是多少？

例8、某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表 ：

甲种客车
乙种客车
载客量（单位：人/辆）
45
30
租金 （单位：元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案。

出发地
运费
目的地

C县
D县
A县

B县

例9、某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费（元/吨）如下表所示：

（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

18. （2013四川南充，18，8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
y(件)
x(元/件)
30
50
130
150
O

18.解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）.由所给函数图象得
……………1′
……………2′解得 ……………3′
∴函数关系式为y＝－x＋180. ……………4′
(2)W＝(x－100) y＝(x－100)( －x＋180) ……………5′
＝－x2＋280x－18000 ……………6′
＝－(x－140) 2＋1600 ……………7′
当售价定为140元, W最大＝1600.
∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元 ……………8′
25．（7分）（2013•常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？

考点：
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．3718684
分析：
（1）表示出生产乙种饮料（650﹣x）千克，然后根据所需A种果汁和B种果汁的数量列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围；
（2）根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性求出最大销售额．
解答：
解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，
根据题意得，，
由①得，x≤425，
由②得，x≥200，
所以，x的取值范围是200≤x≤425；

（2）设这批饮料销售总金额为y元，
根据题意得，y=3x+4（650﹣x）=3x+2600﹣4x=﹣x+2600，
即y=﹣x+2600，
∵k=﹣1＜0，
∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元．
点评：
本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据A、B果汁的数量列出不等式组是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性．
23．(2013福建龙岩市)某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件、B产品100件．已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件．
（1）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？
（2）若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁７天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天（两种设备的租赁天数均为整数），问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？
解：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天． 1分
则依题意得 3分
解得 4分
答：需租赁甲种设备2天、乙种设备8天. 5分
（2）设租赁甲种设备天、乙种设备(10－)天，总费用为元． 6分

依题意得

∴3≤≤5．
∵为整数，
∴＝3、4、5． 8分
方法一：
∴共有三种方案．
方案（1）甲3天、乙7天，总费用400×3+300×7＝3300; 9分
方案（2）甲4天、乙6天，总费用400×4+300×6＝3400; 10分
方案（3）甲5天、乙5天，总费用400×5+300×5＝3500. 11分
∵3300<3400<3500 ∴方案（1）最省，最省费用为3300元． 12分

方法二：
则＝400+300(10－)＝100+3000 10分
∵100＞0，
∴随的增大而增大．
∴当＝3时，＝3300． 11分
答：共有3种租赁方案：①甲3天、乙7天；②甲4天、乙6天；③甲5天、乙5天.最少租赁费用3300元． 12分
方法三：能用穷举法把各种方案枚举出来，并得出三种符合条件的方案，求出最省费用的，参照标准酌情给分．
23．（10分）（2013•莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？

考点：
二次函数的应用；菱形的性质；矩形的性质．349910
专题：
应用题．
分析：
（1）连接AC、BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式．
（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可．
解答：
解：（1）连接AC、BD，

∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
则EM=AEcos∠AEM=x，
∴EH=2EM=x，
故可得S=（4﹣x）×x=﹣x2+4x．

（2）易求得菱形ABCD的面积为8cm2，
由（1）得，矩形ABCD的面积为x2，则可得四个三角形的面积为（8+x2﹣4x），
设总费用为W，
则W=20（﹣x2+4x）+40（8+x2﹣4x）
=20x2﹣80x+320
=20（x﹣2）2+240，
∵0＜x＜4，
∴当x=2时，W取得最小，W最小=240元．
即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为240元．
点评：
本题考查了二次函数的应用，首先需要根据花坛为轴对称图形，得出EH∥BD，EF∥AC，重点在于分别得出EF、EH关于x的表达式，另外要掌握配方法求二次函数最值的应用．
25．（14分）（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

考点：
相似形综合题．349910
分析：
（1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；
（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考；
②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考．
解答：
（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，

如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND与△CDM中，

∴△AND≌△CDM（ASA），
∴DM=DN．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED与△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．
证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，
∴，即MF•EN=DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴，即MF•EN=AE•BF．
∴DE•DF=AE•BF，
∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），
∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．
证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

∵D为AB中点，
∴DQ=PC=PB．
易证△DMF∽△NDE，∴，
易证△DMP∽△DNQ，∴，
∴；
易证△AEN∽△DPB，∴，
∴，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．
证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）
∴AD•DF=AE•BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．
证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

易证△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．
由①同理可得：，
∴；
又∵，
∴，
∴DF=kAE．
点评：
本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想．
24．（8分）（2013•白银）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回）把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分，得分高的获得入场卷，如果得分相同，游戏重来．
（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；
（2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？

考点：
游戏公平性；列表法与树状图法．3338333
分析：
（1）首先根据题意列出表格或画出树状图，然后求得所有等可能的结果与甲得1分的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）求得乙的得分，比较概率不相等，即可得这个游戏是不公平．
解答：
解：（1）列表得：

1
2
3
4
1
﹣
1分
1分
0分
2
1分
﹣
1分
0分
3
1分
1分
﹣
0分
4
0分
0分
0分
﹣
画树状图得：

∴P（甲得1分）==

（2）不公平．
∵P（乙得1分）=
∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），
∴不公平．
点评：
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24．（10分）（2013•南宁）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地直接的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．

考点：
一次函数的应用．3718684
分析：
（1）x=0时甲的y值即为A、B两地的距离；
2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M的坐标以及实际意义；
（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值，再求出最后两人都到达B地前两人相距3千米的时间，然后写出两个取值范围即可．
解答：
解：（1）x=0时，甲距离B地30千米，
所以，A、B两地的距离为30千米；

（2）由图可知，甲的速度：30÷2=15千米/时，
乙的速度：30÷1=30千米/时，
30÷（15+30）=，
×30=20千米，
所以，点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米；

（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，
①若是相遇前，则15x+30x=30﹣3，
解得x=，
②若是相遇后，则15x+30x=30+3，
解得x=，
③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）=3，
解得x=，
所以，当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
点评：
本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在于（3）要分情况讨论．
　23.（2013湖北鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x > 40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）

销售玩具获得利润w（元）

（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元.
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

（1）
销售单价（元）
x
销售量y（件）
………2分
1000－10x
销售玩具获得利润w（元）
－10x2+1300x－30000

（2）－10x2+1300x－30000=10000
解之得：x1=50 x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润 …………5分
（3）根据题意得
解之得：44≤x≤46 …………6分
w=－10x2+1300x－30000=－10(x－65)2+12250 …………7分
∵a=－10﹤0，对称轴x = 65
∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大.
∴当x = 46时，W最大值=8640（元） …………9分
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元。 …………10分
22．（10分）（2013•恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．
（1）求这两种商品的进价．
（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？

考点：
一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．3718684
分析：
（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，就有x=y，3x+y=200，由这两个方程构成方程组求出其解既可以；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货 方案，设利润为W元，根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论．
解答：
解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得
，
解得：．
答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；

（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得
，
解得：29≤m≤32
∵m为整数，
∴m=30，31，32，
故有三种进货方案：
方案1，甲种商品30件，乙商品70件，
方案2，甲种商品31件，乙商品69件，
方案3，甲种商品32件，乙商品68件，
设利润为W元，由题意，得
W=40m+50（100﹣m），
=﹣10m+5000
∵k=﹣10＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=30时，W最大=4700．
点评：
本题考查了列二元依稀方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，方案设计的运用，一次函数的性质的运用，在解答时求出利润的解析式是关键．
22．（7分）（2013•十堰）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型 价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
考点：
一次函数的应用；一元一次方程的应用．3718684
专题：
销售问题．
分析：
（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
解答：
解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，
根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，
解得x=75，
所以，100﹣75=25，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；

（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
则y=（45﹣30）x+（75﹣50）（100﹣x），
=15x+2000﹣20x，
=﹣5x+2000，
∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
∵k=﹣5＜0，
∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）
答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．
点评：
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．
22．（9分）（2013•咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

考点：
二次函数的应用．3718684
分析：
（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
解答：
解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x2+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）2+4000
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
点评：
本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
24、（2013湖北襄阳）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球和羽毛球拍出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动。
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA元，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB元。请解答下列问题：
（1）分别写出yA和yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只有一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算：
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。
24、（1）yA＝（10×30＋10x×3）×90%＝27x＋270，　　　
　yB＝10×30＋10（x－2）×3＝30x＋140；
　　（2）当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋140，得x＝10，
　　　　当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋140，得x＜10，
　　　　当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋140，得X>10,
所以，当2≤x＜10时，到B超市购买划算；
　　　当x＝10时，两家超市都一样；
　　　当x＞10时，到A超市购买划算。
（3）由题意知，没限制只在一家超市购买，所以既可以只在一家购买，也可以在两家混合购买，因此分两种情况讨论：
①若只在一家购买：因为x＝15＞10，所以选择在A超市购买划算，费用为：yA＝27×15＋270＝675（元）；
②若在两家混合购买：可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130个，则共需费用10×30＋130×3×0.9＝651（元），
因为651＜675，所以最省钱的方案是先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A购买130个羽毛球。

24．(2013湖南湘潭)
在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3,请你求出CF的长.
C
A
l
O
B
D
E
F
图1
B
A
l
C
O
D
F
E
图2
A
B
C
O
D
E
F
图3
B
A
l
C
D
E
F
O
图4
G

【答案】解：（1）AD与CF还相等，
理由：∵四边形ODEF、四边形ABCO为正方形，∴∠DOF =∠COA = 90°，DO=OF，CO=OA，∴∠COF =∠AOD，∴△COF ≌△AOD（SAS），∴AD=CF.
（2）如图4，连接DF，交EO于G，则DF⊥EO，DG=OG=EO=1，∴GA=4，∴AD===;
23．（2013湖南岳阳，23，10分）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：
如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1） 求证：DP=DQ；
（2） 如图②，小明在图①的基础上作的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．
（3） 如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB:AP=3:4，请帮小明算出的面积．

①
②
③

【答案】

25．（2013江苏盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入﹣进货金额）

考点：
一次函数的应用
分析：
（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；
（2）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（25，16535，55）代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润=销售收入﹣进货金额得到w关于x的函数关系式为w=﹣11（x﹣30）2+1100，再根据二次函数的性质即可求解．
解答：
解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，由题意，得
80（x+2）=88x，
解得x=20．
答：现在实际购进这种水果每千克20元；

（2）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（25，165），（35，55）代入，
得，解得，
故y与x之间的函数关系式为y=﹣11x+440

②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，
则w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣11x+440）=﹣11x2+660x﹣8800=﹣11（x﹣30）2+1100，
所以当x=30时，w有最大值1100．
答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．
点评：
本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到找等量关系列方程，运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质等知识，本题难度适中．
24．（2013辽宁本溪）某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量