九年级数学上册 22.2.4 三边成比例的两个三角形相似教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

相似三角形的判定

教学目标
了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
培养学生的观察﹑动手探究、归纳总结的能力，感受相似三角形与相似多边形；相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
重点难点
重点：判定两个三角形相似的预备定理
难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程
同步教学内容及授课步骤

知识点归纳：
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2.相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC
（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
课程引入：
相似三角形的定义是什么？

如果， ，
那么ΔABC∽ΔA/B/C/

相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？
全等三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形。
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

猜想1：在△ABC 和△A/B/C/中, ∠A=∠A'，∠B = ∠B'，△ABC与△A/B/C/是否相似？
证明：在AB，AC上分别截取AD= A'B' ，AE = A'C'
∵ AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'
∴ ΔA DE≌ΔA'B'C'，
∴ ∠ADE=∠B'，
又∵ ∠B'=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC。
∴ ΔA'B'C'∽ΔABC

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。可简述为：两角对应相等，两个三角形相似。

用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'

例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF
证明：∵ 在ΔABC中，
∠A=400，∠B=800，
∴ ∠C=1800－∠A －∠B
=1800－400 －800 ＝600
∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。

课堂练习：
（1）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，
求证：
①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
②如果∠B=∠B/那么ΔABC∽ΔA/B/C/。

猜想2：两边成比例且夹角相等，两个三角形是否相似？

是否有△ABC∽△A’B’C’？

分析： 画△ABC 与 使 △ABC与相似？把相似比换成任意一个正数k， △ABC与 相似吗？

判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 。可简述为: 两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.

几何语言：

∴△ABC∽

求证：△OAD∽△OBC.
例2、已知如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交与点O,OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2.
A
B
C
D
O

例3、已知如图，点D是△ABC的边AB上的一点，且,求证：△ACD∽△ABC.

猜想3：在△ABC与△中，如果,那么△ABC与△相似吗？为什么？
分析：可以利用相似三角形预备定理来证明。

相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 。可简述为:三边对应成比例，两个三角形相似。

例4、已知如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF相似于△ABC.

猜想4：

如图，在 Rt △A B C与Rt △A’B’C’中,∠C=∠C′=90°,AB/A’B’=AC/A’C’判断Rt △A B C与Rt △A’B’C’ 是否相似，为什么？
解：设AB/A’B’=AC/A’C’=K
则AB=KA’B’,AC=KA’C’
BC2=AB2-AC2
=K2A’B’2-K2A’C’2
=K2(A'B’2-A’C’2)
=K2B’C’2
BC、B’C’、K均为正，则BC=KB’C’,
所以AB/A’B’=AC/A’C’=BC/B’C’=K
∴Rt△ABC∽ Rt △A‘B’C’（三边对应成比例的两个三角形相似）

例5 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,但BD与a,b之间满足怎样的关系式时， △ABC∽ △CDB?

解：∵ ∠ABC= ∠CDB= 90°
∴当AC/BC=BC/BD时，
△ABC∽ △CDB
即当a/b=b/BD时， △ABC∽ △CDB
∴ BD=b2/a
答：当BD= b2/a时，△ABC∽ △CDB
课堂练习：
1、1）如图，△ADE∽△ACB，∠AED=∠B，那么下列比例式成立的是( )

A. B.
C. D.
2）如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的
相似比为( )
A.5∶3 B.3∶2
C.2∶3 D.3∶5
3）若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，BC=3，A′B′=1，则B′C′等于( )
A.1.5 B.3
C.2 D.1
4）△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，
如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )
A. B.2
C. D.2
2、1） 如果△ABC和△A′B′C′的相似比等于1，则这两个三角形________.
2）已知△ABC∽△A′B′C′A和A′，B和B′分别是对应点，若AB=5 cm，
A′B′=8 cm，AC=4 cm，B′C′=6 cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为
________，A′C′=________，BC=________.
3）如果Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，AB=3，BC=2，A′B′=12，
则A′C′=________.
3、判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.
(1)△ABC和△A′B′C′都是等边三角形.
(2)△ABC中，∠C=90°，AC=BC；△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=B′C′.

4、已知△ABC中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一个与它相似的△A′B′C′
的最长边为40 cm，求△A′B′C′的其余两边的长.

5、已知：△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的最大边长为15 cm，求△A′B′C′的周长.

课后作业专案
学生姓名

所属年级
九年级
辅导学科
数学
任课教师

作业时限
90分钟
布置时间

1．如图1，（1）若=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．
（2）若∠B=_____则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．
（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．
2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．

(1) (2) (3)
3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=∠BAO，则点C的坐标为________，AC=_______．
4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．
5．下列各组图形一定相似的是（ ）．
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（ ）．
A．45° B．60° C．75° D．90°

(4) (5) (6)
7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．
8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．

9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．

10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）和点D，使△AOB与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．

11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC．

12．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．

13．在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求的值．

14．在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．