正弦定理.(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,:,解三角形,1.1,正弦定理,1,1.,问题的引入,:,.,(1),在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事,.,明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢,?,科学家们是怎样测出来的呢？,2,(2),设,A,B,两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗,?,A,B,我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.,3,回忆一下直角三角形的边角关系,?,A,B,C,c,b,a,两等式间有联系吗？,思考,:,对一般的三角形,这个结论还能成立吗,?,2.定理的推导,1.1,正弦定理,4,(1),当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢,?,D,如图,:,作,AB,上的高是,CD,根椐三角形的定义,得到,1.1,正弦定理,B,A,C,a,b,c,E,5,(2),当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立,?,B,A,C,b,c,a,1.1.1,正弦定理,D,6,（,1,）,文字叙述,正弦定理：,在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等,.,（,2,）结构特点,（,3,）方程的观点,正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个,.,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢,?,和谐美、对称美,.,正弦定理,:,7,O(A),y,x,C,B,C,因为向量 与 在,y,轴上的射影均为 ，,如图所示，以,A,为原点，以射线,AB,的方向为,x,轴正方向建立直角坐标系，,C,点在,y,轴上的射影为,C,，,即,所以,即,8,所以,若,A,为锐角或直角，也可以得到同样的结论,.,同理，,9,变式,:,正弦定理,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即,10,剖析定理、加深理解,1,、,A+B+C=,2,、大角对大边，大边对大角,11,剖析定理、加深理解,3,、正弦定理可以解决三角形中的问题：,已知,两角和一边,，求其他角和边,已知,两边和其中一边的对角,，求另一边,的对角，进而可求其他的边和角,12,剖析定理、加深理解,4,、一般地，把三角形的三个角,A,，,B,，,C,和它们的对边,a,，,b,，,c,叫做,三角形的元素,。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫,解三角形,13,剖析定理、加深理解,5,、正弦定理的变形形式,6,、正弦定理,，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化,14,例,1,在,已知,解三角形,.,通过例题你发现了什么一般性结论吗?,小结,：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,1.1,正弦定理,3.定理的应用举例,变式：,若将,a,=2,改为,c,=2,，结果如何？,15,例,2,已知,a=16,，,b=,，,A=30,.,解三角形。,已知两边和其中一边,的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或,120,当 时,60,C=90,C=30,当,120,时,B,16,30,0,A,B,C,16,3,16,8,3,16,17,4.基础练习题,1.1,正弦定理,B=30,0,无解,18,B,C,D,E,A,分析：,如图所示，将,BD,CE,分别延长相交于一点,A,，在A,BC,中，已知,BC,的长及角,B,与,C,，可以通过正弦定理求,AB,，,AC,的长,.,例,3.,某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,(,如图所示,),，其一角已破损,.,现测得如下数据：,BC=2.57cm,，,CE=3.57cm,，,BD=4.38cm为了复原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到,0.01cm,）,.,19,解：,将,BD,CE,分别延长相交于一点,A,，在A,BC,中，,BC=2.57cm,B=45,C=120,A=180,-,(B+C)=180,-,(45,+,120,),=15,.,因为,所以,利用计算器算得,AC7.02(cm),同理,AB8.60(cm).,答：原玉佩两边的长分别约为,7.02cm,8.60cm.,20,例,4.,台风中心位于某市正东方向,300 km,处，正以,40 km/h,的速度向西北方向移动，距离台风中心,250 km,范围内将会受其影响,.,如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到,0.1h,）,?,21,分析：,如图所示，台风,沿着,BD,运动时，由于,|AB|,=300 km250 km,，所以开,始台风影响不了城市,A,，由点,A,到台风移动路径,BD,最小距离,|AE|=|AB|sin45,所以台风在运动过程中肯定要影响城市,A.,这就要在,BD,上求影响,A,的始点,C,1,和终点,C,2,，然后根据台风的速度计算台风从,C,1,到,C,2,持续的时间,.,A,北,D,C,2,E,C,1,B,22,解：,设台风中心从点,B,向西北方向沿射线,BD,移动，该市位于点,B,正西方向,300 km,处的点,A.,假设经过,th,台风中心到达点,C,，则在,ABC,中,AB=300 km,，,AC=250 km,BC=40t km,B=45.,23,24,25,正弦定理,主要应用,(,1),已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；,(,2),已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）,1.1,正弦定理,小结,:,26,作业,27,正弦定理（第二课时）,1,、复习回顾正弦定理的内容,28,问题,1,由例,2,我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况,.,还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？,提示：,已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解,.,在,ABC,中，已知,a,，,b,和,A,时，解的情况如下：,探究点,2,正弦定理解三角形,29,1.,为锐角,absinA,无解,a=bsinA,一解,bsinAab,一解,ab,无解,b,a,b,a,为直角时，与为钝角相同，,ab,时，一解；,ab,时，无解,.,31,问题,2,如图所示，在,RtABC,中，斜边,AB,是,ABC,外接圆的直径（设,Rt,ABC,外接圆的半径为,R,），因此,这个结论对于任意三角形,(,图,，,图,),是否成立？,提示：,成立，证明如下,.,32,A,C,B,B,a,c,b,O,如图,:,当,ABC,为锐角三角形时，,33,a,b,c,当,ABC,为直角三角形时，容易得证,.,34,问题,3,B,A,C,D,a,b,c,h,a,证明,:,因为,而,所以,小结：,35,36,37,2,、,在 中，若 ，则 是,(),A.,等腰三角形,B.,等腰直角三角形,C.,直角三角形,D.,等边三角形,1,、在 中，一定成立的等式是（）,C,D,38,3.,（,2013,北京高考）在,ABC,中，,a,=3,b,=5,sinA=,则,sinB=(),A.,B.,C.,D.1,B,B,39,6.,在 中，,c=4,a=2,C=,则,=_.,5.,若,A,B,C,是,ABC,的三个内角，,则,sinA+sinB_sinC.,40,通过本节课的学习,:,1.,掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法,.,2.,学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题,.,（,1,）已知两角及一边；,（,2,）已知两边和其中一边的对角,.,41,在例,2,中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判断有几组解？,60,A,B,C,b,（,3,）,b,20,，,A,60,，,a,15.,（,1,）,b,20,，,A,60,，,a,;,（,2,）,b,20,，,A,60,，,a,;,42,（,3,）,b,20,，,A,60,，,a,15.,60,20,A,C,（,1,）,b,20,，,A,60,，,a,;,60,203,A,20,B,C,（,2,）,b,20,，,A,60,，,a,;,B,C,60,A,20,一解,一解,无解,43,a,bsinA,a,=bsinA,bsinA,a,b,无解,一解,两解,一解,无解,一解,A,C,条件,图形,解的,个数,总结,A,C,B,B,C,A,A,C,D,B,2,B,1,C,A,D,A,B,C,D,44,