1、第五章 5.1.2垂线
知识点1：垂直的定义
1. 垂直:直线a,b相交于点O(如图),当有一个夹角为90°时,称直线a,b互相垂直,记作a⊥b或b⊥a.在图中我们用⊥作为表示两条直线互相垂直的标识,它们相交的交点O叫做垂足.日常生活中,如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.
2. 垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.如图,过直线l外一点P,作PO⊥直线l,垂足为O,则线段OP叫做点P到直线l的垂线段.
知识点2：垂线的画法
1. 垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,这是我们必须掌握的基
2、本作图之一.那么如何才能画出呢?具体地说来,可以有下面的三种方法:
(1)利用三角板;(2)利用量角器;(3)利用直尺和圆规.
运用(1)或(2)两种工具作图时可以按下面的步骤操作:
①一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线(或是将量角器的0°线与已知直线重合);
②二过:使三角板的另一直角边经过已知点(或是使量角器的90°线经过这一点);
③三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线(或者是沿量角器90°线所在直线画出).如图所画的PQ就是直线AB的垂线.
2. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度,叫做点到直线的距离,在上图中,PQ的长度就是点P到直线AB的
3、距离.
注意：(1)垂线、垂线段的垂足都要作垂直符号;(2)垂线段和表示距离的线段要画出端点,而垂线则可向两方延伸;(3)作线段(射线)的垂线时,如果垂足在其延长线(反向延长线)上,则应将其延长(或反向延长),并且用虚线表示.
知识点3：垂线的性质
性质(1):在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可以在直线上,也可以在直线外;“有”表示存在,“只有”则表示唯一,意思是说,肯定有一条并且不能多于一条.
性质(2):连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.
考点1:利用垂直定义求角度的大小
【例1】 如
4、图所示,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠EOD∶∠BOD=3∶1,求∠COE的度数.
解:∵OE⊥AB,∴∠EOB=∠AOE=90°.
∵∠EOD∶∠DOB=3∶1,
∴∠BOD=∠EOB=×90°=22.5°.
又∵∠AOC=∠BOD=22.5°,∠COE=∠AOC+∠AOE,
∴∠COE=22.5°+90°=112.5°.
点拨：垂直是两条直线的位置关系,而90°是一个角的大小,垂直定义建立起两直线垂直与90°的角之间的联系.由于∠COE=∠AOC+∠AOE,∠AOE=90°,因此只需求出∠AOC即可,又因为∠AOC=∠BOD,故将求∠AOC的度数转化成求∠B
5、OD的度数,又由于∠EOD∶∠BOD=3∶1,∠EOD+∠BOD=90°,从而可求出∠BOD的度数.
考点2:垂线段与点到直线的距离的应用
【例2】 点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=2 cm,则点P到直线m的距离( )
A.为4 cm B.为2 cm C.小于2 cm D.不大于2 cm
答案:D
点拨：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度,虽然垂线段最短,但是在PA,PB,PC中并没有说明PC是垂线段,所以垂线段的长可能小于2 cm,也可能等于2 cm.
考点3:垂线段与点到直线的距离的应用
【例3】 如图,点A表示小明家,点B表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短?请画出行走路线.
解:如图,连接AB,作BM垂直河边于点M.
折线A-B-M即为所求.
点拨：从点A到点B的最短路线是线段AB,理由是“两点之间,线段最短”;从点B到河边的最短路线是点B到河边的垂线段,理由是“垂线段最短”.
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