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七年级数学 因式分解
把一个多项式分解成几个因式的连乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
因式分解的要求有七项：
1. 单项因子须写在多项式因子的前面；
2. 相同因式须写出幂的形式；
3. 最后运算必须是乘法；
4. 分解必须彻底（即不再能继续分解）；
5. 分解的结果不允许有双重以上的括号；
6. 各多项式因式的首项必须取“＋”号；
7. 每一个多项式因子须是按同一字母的升幂或降幂排列的最简形式。
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下几讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
　　1．运用公式法
　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
　　下面再补充几个常用的公式：
　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；
　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．
　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
　　例1 分解因式：
　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；
　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
　　解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2
　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
　　　　　 =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
　　　　　=(a-b+c)2．
　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
　　　　=(a-b+c)2
　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
　　　　　 =a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
　　　　　 =(a2-b2)(a5+b5)
　　　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
　　　　　 =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
　　例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
　　分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
　　的正确性，现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
　　解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
　　　　　 =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc

　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
　　分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．
　　解 因为
　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，
　　所以

说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

　　2．拆项、添项法
　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
　　例4 分解因式：x3-9x+8．
　　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
　　解法1 将常数项8拆成-1+9．
　　原式=x3-9x-1+9
　　　　=(x3-1)-9x+9
　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
　　原式=x3-x-8x+8
　　　　=(x3-x)+(-8x+8)
　　　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
　　原式=9x3-8x3-9x+8
　　　　=(9x3-9x)+(-8x3+8)
　　　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法4 添加两项-x2+x2．
　　原式=x3-9x+8
　　　　=x3-x2+x2-9x+8
　　　　=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

　　例5 分解因式：
　　(1)x9+x6+x3-3；
　　(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
　　(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
　　(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
　　解 (1)将-3拆成-1-1-1．
　　原式=x9+x6+x3-1-1-1
　　　　=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
　　　　=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
　　　　=(x3-1)(x6+2x3+3)
　　　　=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
　　(2)将4mn拆成2mn+2mn．
　　原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
　　　　=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
　　　　=(mn+1)2-(m-n)2
　　　　=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
　　(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
　　原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
　　　　=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
　　　　=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
　　　　=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
　　(4)添加两项+ab-ab．
　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
　　　　=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
　　　　=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
　　　　=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
　　　　=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
　　　　=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

　　 课堂练习（3）
一、选择题
1. 下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）。
（A）(x+1)(x-1)=x2-1
(B)(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)
(C)ab-a-b+1=(a-1)(b-1)
(D)m2-2m-3=m(m-2-)

2. x=0,y=-4,是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有（ ）组。
（A）2 (B)6 (C) 12 (D)16
3. 当x=6，y=8时，的值是（ ）
（A）1200000-254000 （B）1020000-250400
（C）1200000-250400 （D）1020000-254000

4. 把多项式x2-y2-2x-4y-3因此分解之和，正确的结果是（ ）。
(A)(x+y+3)(x-y-1) (B)(x+y-1)x-y+3) (C)(x+y-3)(x-y+1) (D)(x+y+1)(x-y-3)
5. 已知a3+a2+a+1=0,那么a2008+2a2000+5a1996的值是（　　　　）。
（A）8　　　　　　（B）4　　　　　（C）6　　　　（D）16

6. 将多项式分解成因式的积，结果是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题

1. 已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是______。

2. 已知3x2+4x-7=0,则6x4+11x3-7x2-3x-7=______ 。

3. 分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=__________。
4. 已知，那么 。

5. 多项式18a3-8ab2+27a2c-12b2c分解因式积的形式是__________。

6. 分解因式：的结果是 。
7. 分解因式：(a+b-2x)3-(a-x)3-(b-x)3的 结果等于_______

三、解答题
1. 分解因式：x2y2+xy-x2-y2+x+y+2

2. 分解因式

3.计算

课堂练习（3）答案
一、选择题提示：根据因式分解的概念选（C）
2.

2x+3y
1
30
15

2
10
3
6
5
-1
-30
-15
-2
-10
-3
-6
-5
x+y
30
1
2
15
3
10
5
6
-30
-1
-2
-15
-3
-19
-5
-6
可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数解，
应选（D）。
3.解：由，得，代入原式，得到
所以应选（B）
注：用代入原式，得到

故应选（B）。
4.解：拆分法，可得（C）正确。
5. 解：由a3+a2+a+1=0,知a
则a2008+2a2000+5a1996=1+2+5=8
6. 解：
∴ 选（D）。
二、填空题
1. 解: 设两数为x，y，则
∴ （x+y）（x2-xy+y2）=（x+y）[（x+y）2-3xy]=108。（x+y）2-3xy==9，
∴ xy=， x2+y2=（x+y）2-2xy=54。
2.解： ∵ 6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1) 而3x2+4x-7=0，答案为0。
3. 解：

4. 解：由得，所以。于是
。
5.解：
6. 解：

7.解：

三、解答题
1. 解：原式=(x2y2-x2)+(y+1)+(xy+x)+(1-y2)
=x2(y+1)(y-1)+(y+1)+x(y+1)+(y+1)(1-y)
=(y+1)[(x2(y-1)+1+x+1-y)
=(y+1)[(y-1)(x2-1)+(1+x)]
=(y+1)(x+1)[(y-1)(x-1)+1
=(x+1)(y+1)(xy-x-y+2)
2.提示：原式

3. 解：原式两边乘以（2－1）得
上式＝

数学奥林匹克辅导讲座（初一年级）
第三讲、因式分解（1）课后网上练习

1. 若a+b=3,a2b+ab2=-30,则a3+b3 的值是（ ）
（A）117 （B）133 （C）-90 （D）143
2. 已知，那么等于_____________
3. 把代数式分解成因式的乘积，应当是 。
4.
5．分解因式

数学奥林匹克辅导讲座（初一年级）
第三讲、因式分解（1）课后网上练习

1. 若a+b=3,a2b+ab2=-30,则a3+b3 的值是（ ）
（A）117 （B）133 （C）-90 （D）143
2. 已知，那么等于_____________
3. 把代数式分解成因式的乘积，应当是 。
4.
5．分解因式

第三讲、因式分解（1）课后网上练习(3) 答案初一

1. 解：由a+b=3,ab2+a2b=ab(a+b)=-30,得，ab=-10,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=117,
选（A）。
2.解：因为经分解后可变成用代入后得知，其值为16。
3.解：

4.解 原式＝1
5.解：