1、第四章 4.3.2角的比较与运算
知识点1:角的大小比较
1.叠合法:把要比较的两个角的顶点重合,并将其中一边也重合,并使另一边都放在重合边的同侧,就可明显看出角的大小关系.
例如:比较∠AOB和∠CED的大小时,先让顶点O与E重合,再让OA与EC重合,并且使另一边OB、ED在OA的同侧.
(1)如果OB与ED重合,则表示这两个角相等,如图,记作∠AOB=∠CED;
(2)如果ED落在∠AOB的外部,则表示∠AOB小于∠CED,如图,记作∠AOB<∠CED;
(3)
2、如果ED落在∠AOB的内部,则表示∠AOB大于∠CED,如图,记作∠AOB>∠CED.
2.度量法:用量角器量出两个角的度数,因为角的大小与它们的度数大小是一致的,因此度数大的角就大.
知识点2：两角的和与差
下图中共有三个角,分别是∠1、∠2、∠BAD.它们之间的关系是:∠BAD是∠1与∠2的和,记作∠BAD=∠1+∠2;∠1是∠BAD与∠2的差,记作∠1=∠BAD-∠2;∠2是∠BAD与∠1的差,记作∠2=∠BAD-∠1.角的和与差的度数就是它们度数的和与差.
(1)求角的和与差时,要认真分析图形,根据图形提供的角的和差关系进行解答
3、没有给出图形时,要先画出图形再进行解答;
(2)进行角的和差计算,单位要保持一致;
(3)角的和与差的几何意义是根据图形求两角的和与差,代数意义是利用角的度数进行加减运算.
知识点3：角平分线
1.定义:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
如图,OC是从∠AOB的顶点O出发的一条射线,若∠AOC=∠BOC,则OC叫做∠AOB的平分线.
2.符号语言:如图,OC平分∠AOB,则∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
考点1：角度计算
【例1
4、如图,∠DOE∶∠BOE=1∶2,∠DOC∶∠COA=1∶2,如果∠AOB=120°,那么∠EOC是多少度?
解:解法1：因为∠DOE∶∠BOE=1∶2,∠DOC∶∠COA=1∶2,
所以∠BOE=2∠DOE,∠COA=2∠DOC,所以∠BOD=3∠DOE,∠AOD=3∠DOC.
又因为∠AOB=∠BOD+∠AOD=3∠DOE+3∠DOC
=3(∠DOE+∠DOC)=3∠EOC,
所以∠EOC=∠AOB=40°.
解法2:设∠DOE=x,∠COD=y,由题意得∠BOE=2x,∠COA=2y.
因为∠AOB=∠DOE+∠CO
5、D+∠BOE+∠COA,所以∠AOB=3x+3y.
因为∠AOB=120°,所以3x+3y=120°,即x+y=40°.
所以∠EOC=40°.
点拨：第二种方法体现了方程思想,比第一种方法更直观.弄清各个角之间的关系,尤其是∠EOC和∠AOB的倍分关系很重要.
考点2:角平分线的有关计算
【例2】如图,∠AOB=90°,OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,求∠MON的度数.
解：解法1：:因为ON平分∠AOC(已知),所以∠AON=∠CON(角平分线的定义).
设∠CON=x°,所以∠AON=∠CON=∠AOC=x°.
又因为∠AO
6、B=90°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2x°.
又因为OM平分∠BOC,所以∠MOC=∠BOC=45°+x°(角平分线的定义).
因为∠MOC=∠MON+∠NOC,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=45°+x°-x°=45°.
解法2:因为ON平分∠AOC,OM平分∠BOC(已知),
所以∠MOC=∠BOC,∠NOC=∠AOC(角平分线的定义).
因为∠AOB=90°,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=∠BOC-∠AOC=(∠BOC-∠AOC)=∠AOB=45°.
考点3:实际问题中的角度计算
【例3】在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹
7、角大小来表示的,如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角,从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D的飞行方向角为145°,则AB与AC之间夹角为多少度?AD与AC之间夹角为多少度?并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线.
解:由题意可知∠NAB=35°,∠NAC=60°,∠NAD=145°.
故AB与AC之间夹角为∠BAC=∠NAC-∠NAB=60°-35°=25°,
AD与AC之间夹角为∠CAD=∠NAD-∠NAC=145°-60°=85°.
以A为顶点,AN为一边作105°角,另一边为AE,如图,AE即为从A飞出且方向角为105°的飞行线.
点拨：此题是一道材料分析题,解答时要认真阅读,明确题目条件,找到南北线与飞行线之间顺时针方向夹角是解题关键.
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