2015高考理科数学总复习题及解析-3三角函数、解三角形3-6-简单的三角恒等变换.doc

[A组　基础演练·能力提升]
一、选择题
1．已知sin α＝－，则tan等于(　　)
A．－　　　　　　　　　　　 B．－
C．－或－ D.或
解析：由sin α＝得tan＝－或－.
答案：C
2．已知cos α－sin α＝，α∈(－π，0)，则tan α＝(　　)
A．－1　　　　B．－　　　　C.　　　　D．1
解析：∵cos α－sin α＝(cos α－sin α)＝cos(α＋)＝，∴cos(α＋)＝1.
∵α∈(－π，0)，∴－<α＋<，∴α＋＝0，α＝－，∴tan α＝－1，选A.
答案：A
3．函数f(x)＝sin x·(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)
A. B.
C．π D．2π
解析：∵f(x)＝sin x·(cos x－sin x)＝sin xcos x－sin2x＝(sin 2x＋cos 2x)－＝sin－，∴最小正周期T＝＝π.故选C.
答案：C
4．(2014年郑州模拟)函数f(x)＝2sin2－cos 2x的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．2＋ D．2－
解析：依题意，f(x)＝1－cos 2－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，当≤x≤时，≤2x－≤，≤sin≤1，此时f(x)的最大值是3，选B.
答案：B
5．(2014年嘉兴一模)的值是(　　)新*课*标*第*一*网]
A. B. C. D.
解析：原式＝
＝
＝＝.
答案：C新课 标第 一 网
6．(2014年六盘水模拟)已知cos α＝，cos(α ＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
解析：∵α∈，∴2α∈(0，π)．
∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin 2α＝＝，
而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
答案：D[来源:Z*xx*k.Com]
二、填空题
7．(2014年东营模拟)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
解析：∵α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，即2sin α＝3cos α，
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，
∴
＝
＝.
答案：
8．函数f(x)＝sin x·cos x－cos2x的值域为________．
解析：∵f(x)＝sin x·cos x－cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin－，∴y∈.
答案：
9．已知tan＝2，则tan的值为________．
解析：∵tan＝2，
∴tan＝tan＝＝.
答案：
三、解答题
10．(2014年北京东城模拟)已知函数f(x)＝2－(sin x－cos x)2.
(1)求f的值和f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：(1)因为f(x)＝2－(sin x－cos x)2
＝2－(3sin2x＋cos2x－2sin xcos x)w w w .x k b 1.c o m
＝1－2sin2x＋sin 2x
＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
所以f＝2sin ＝2sin ＝，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当x∈时，2x∈，
∈，
所以当x＝－时，函数取得最小值f＝－1，
当x＝时，函数取得最大值f＝2.
11．(2014年合肥模拟)已知函数f(x)＝msin x＋cos x.
(1)若m＝2，f(a)＝，求cos a；
(2)若f(x)的最小值为－，求f(x)在上的值域．
解析：(1)由m＝2，得f(a)＝2sin a＋cos a＝，
又sin2a＋cos2a＝1，∴cos a＝－或cos a＝1.
(2)f(x)＝msin x＋cos x＝sin(x＋φ)≤(tan φ＝)，
∴＝，∴m＝1或m＝－3(舍)，
∴f(x)＝sin x＋cos x＝sin.
∵x∈，∴x＋∈，
∴sin∈，
∴f(x)在上的值域为.
12．(能力提升)(2014年深圳调研)已知函数f(x)＝2sin(0≤x≤5)，点A，B分别是函数y＝f(x)图象上的最高点和最低点．
(1)求点A，B的坐标以及·的值；
(2)设点A，B分别在角α，β的终边上，求tan(α－2β)的值．
解析：(1)∵0≤x≤5，∴≤＋≤，
∴－≤sin≤1.
当＋＝，即x＝1时，sin＝1，f(x)取得最大值2；
当＋＝，即x＝5时，sin＝－，f(x)取得最小值－1.
因此，点A，B的坐标分别是A(1,2)，B(5，－1)．
∴·＝1×5＋2×(－1)＝3.
(2)∵点A(1,2)，B(5，－1)分别在角α，β的终边上，
∴tan α＝2，tan β＝－，
∵tan 2β＝＝－，
∴tan(α－2β)＝＝.
[B组　因材施教·备选练习]
1．函数f(x)＝cos x－sin x取得最大值时，x的可能取值是(　　)
A．－π B．－
C．－ D．2π
解析：∵f(x)＝cos x－sin x
＝2＝2cos，
∴当x＋＝2kπ时，其中k∈Z，f(x)取最大值，即x＝2kπ－时，f(x)有最大值2，∴结合各选项知x的可能取值是－，选C.
答案：C
2．函数y＝sin xsin＋sin·cos 2x的最大值和最小正周期分别为(　　)
A．1，π B．2,2π
C.，2π D.，π
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，故选A.
答案：A
3．(2014年荆州模拟)已知x0，x0＋是函数f(x)＝cos2－sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点．
(1)求f的值；
(2)若对∀x∈，都有|f(x)－m|≤1，求实数m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝－
＝
＝
＝
＝
＝sin .
由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，
又∵ω>0，∴ω＝1，∴f(x)＝sin.
∴f＝sin ＝sin ＝
(2)|f(x)－m|≤1，即f(x)－1≤m≤f(x)＋1，
∵对∀x∈，都有|f(x)－m|≤1，
∴m≥f(x)max－1且m≤f(x)min＋1，
∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，
∴－1≤sin≤，
∴－≤sin≤，
即f(x)max＝，f(x)min＝－，
∴－≤m≤1－.
故m的取值范围为.
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