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解析几何知识点大总结
第一部分:椭圆
一．椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；
这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
（时为线段，无轨迹）。
2．标准方程：
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）
②焦点在y轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）
注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②一般形式表示：或者
二．椭圆的简单几何性质：
1.范围
（1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b
（2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）
（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率
（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），
e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；
注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（）
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：
②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
（3）基本线：对称轴（共两条线）
5．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
6.几何性质
（1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：
（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）
（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：其中
7直线与椭圆的位置关系：
(1) 判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：

联立消y得：

联立消x得：

(2) 弦中点问题:斜率为k的直线l与椭圆交于两点是AB的中点，则：
(3) 弦长公式：
第二部分：双曲线
双曲线
标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义
第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
P

P

第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。
P

P

P

P

范围
，
，
对称轴
轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（,0） (,0)
(0, ,) (0，)
离心率
1)
重要结论
（1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：
（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）
（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：
准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
渐近线
方程

共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
直线和双曲线的位置
（1）判断方法:联立直线方程与双曲线方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：

联立消y得：

联立消x得：

(4) 弦中点问题:斜率为k的直线l与双曲线交于两点是AB的中点，则：

弦长公式：
补充知识点：
等轴双曲线的主要性质有：
（1）半实轴长=半虚轴长；
（2）其标准方程为其中C≠0；
（3）离心率；
（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；
（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；
（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；
7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数
第三部分：抛物线知识点总结

图象

x
y
O
l
F

x
y
O
l
F

l
F
x
y
O

x
y
O
l
F

定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。{=点M到直线的距离}
范围

对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦点在对称轴上
顶点

离心率
=1
准线
方程

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离

焦点到准线的距离

焦半径

焦点弦 长

焦点弦的几条性质(以焦点在x轴正半轴为例)
o

x

F
y

M

N

以为直径的圆必与准线相切,以MN为直径的圆与AB相切与点F，即

若的倾斜角为，则

参数
方程

1.直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线： 抛物线，
①　 联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长

或
b. 中点, ，
②　 点差法：
设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，
即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）