状态转移矩阵计算演示幻灯片.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Ch.3,线性系统的时域分析,1,目录(1/1),目 录,概述,3.1,线性定常连续系统状态方程的解,3.2,状态转移矩阵及其计算,3.3,线性时变连续系统状态方程的解,3.4,线性定常连续系统的离散化,3.5,线性定常离散系统状态方程的解,3.6 Matlab,问题,本章小结,2,状态转移矩阵计算,(1/1),3.2,状态转移矩阵,计算,在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵,(,t,),的计算,。,对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数,e,At,的计算,。,上一节已经介绍了基于,拉氏反变换技术,的矩阵指数函数,e,At,的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述,其他,3,种常用方法,。,级数求和法,约旦规范形法,化,e,At,为,A,的有限多项式矩阵函数法,重点推荐,3,级数求和法,(1/3),3.2.1,级数求和法,由,上一节对矩阵指数函数的,定义,过程中可知:,矩阵指数函数,e,At,的计算,可由上述定义式,直接计算,。,由于上述定义式是一个,无穷级数,故在用此方法,计算,e,At,时,必须考虑,级数收敛性条件,和,计算收敛速度,问题,。,类似于标量指数函数,e,at,对所有有限的常数矩阵,A,和有限的时间,t,来说,矩阵指数函数,e,At,这个无穷级数表示收敛。,4,级数求和法(2/3),显然,用此方法计算,e,At,一般,不能,写成封闭的、简洁的解析形式,只能,得到数值计算的近似计算结果,。,其,计算精度,取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少。,如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是非常麻烦的,一般,只适用于,计算机,计算,。,因此,该,方法的缺点:,计算量大,精度低,非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达式。,5,级数求和法(3/3)例,3-4,例,3-4,用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数:,解,按矩阵指数函数的展开式,计算如下,:,6,约旦规范形法,(1/8),3.2.2,约旦规范形法,上节给出了,对角线矩阵、块对角矩阵,和,约旦块,三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数,。,由于,任何矩阵,都可,经线性,变换,成,为,对角线矩阵,或,约旦矩阵,因此,可通过,线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵,再利用,上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵矩阵指数函数。,下面讨论之。,7,约旦规范形法(2/8),下面首先讨论,矩阵指数函数,的一条,性质,:,对矩阵,A,经变换矩阵,P,作线性变换后,有,则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系,8,约旦规范形法(3/8),该结论可简单,证明,如下:,根据上述性质,对任何矩阵,A,可先,(1),通过,线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,然后,(2),利用,该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵,A,的矩阵指数函数。,9,约旦规范形法(4/8)例,3-5,例,3,-5,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解,:,1.先求,A,的特征值。,由特征方程可求得特征值为,1,=-1,2,=-2,3,=-3,2.求特征值所对应的特征向量。,由前述的方法可求得特征值,1,2,和,3,所对应的特征向量分别为,p,1,=1 0 1,p,2,=1 2 4,p,3,=1 6 9,10,约旦规范形法例,3-5,故将,A,变换成对角线矩阵的变换矩阵,P,及其逆阵,P,-1,为,3.,由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,11,约旦规范形法(7/8)例,3-6,解,1.先求,A,的特征值。,由特征方程可求得特征值为,1,=2,2,=,3,=-1,2.,由于矩阵,A,为,友矩阵,故将,A,变换成约旦矩阵的变换矩阵,P,和其逆阵,P,-1,分别为,例,3-6,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,12,约旦规范形法(8/8)-例,3-6,3.,由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,13,塞尔维斯特内插法(1/1),3.2.3,塞尔维斯特,内插法,在讨论,塞尔维斯特,(Sylvester),内插法,计算矩阵指数函数,e,At,时,需要用到关于矩阵特征多项式的,凯莱哈密顿,(,Cayley-Hamilton,),定理,以及,最小多项式,的概念。,因此,首先给出,凯莱,-,哈密顿定理,及,最小多项式,的概念,再讨论,塞尔维斯特内插法,。,下面依次介绍:,凯莱-哈密顿定理,最小多项式,塞尔维斯特内插法 计算 矩阵指数函数,14,凯莱-哈密顿定理(1/,4),1.,凯莱-哈密顿定理,凯莱,-,哈密顿定理,是矩阵方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和证明如下。,定理,3-1(,凯莱-哈密顿定理,),设,n,n,矩阵,A,的,特征多项式,为,f,(,)=|,I-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,则,矩阵,A,必使,由上述特征多项式决定的矩阵多项式函数,f,(,A,)=,A,n,+,a,1,A,n,-1,+,a,n,-1,A+,a,n,I,=0,上述特征多项式亦称为,矩阵,A,的,零化,特征多项式,。,15,凯莱-哈密顿定理(,2/4),证明,因为,I,=(,I,-,A,),-1,(,I,-,A,)=adj(,I,-,A,)/|,I,-,A,|(,I,-,A,),故,|,I,-,A,|,I,=adj(,I,-,A,)(,I,-,A,),由伴随矩阵的定义可知,伴随矩阵,adj(,I-A),可表示为如下多项式矩阵函数:,adj(,I,-,A,)=,n,-1,I+,n,-2,B,2,+B,n,-1,+B,n,其中矩阵,B,2,B,3,B,n,为,n,n,维的常数矩阵。,因此由前面两式,有,(,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,),I,=(,n,-1,I+,n,-2,B,2,+B,n,-1,+B,n,),(,I,-,A,),整理得,(,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,),I,=,n,I,+(,B,2,-,A,),n,-1,+,(,B,n,-,B,n,-1,A,),-B,n,A,16,凯莱-哈密顿定理(,4/4),上式中,令等号两边,的同幂次项的系数相等,则有,a,1,I,-,B,2,+,A,=0,a,2,I,-,B,3,+,A,B,2,=0,a,n,-1,I,-,B,n,+,A,B,n,-1,=0,a,n,I,+,A,B,n,=0,因此,将上述各等式从上至下依次右乘以,A,n,-1,A,I,然后将各等式相加,即得,A,n,+,a,1,A,n,-1,+,a,n,-1,A+,a,n,I,=0,故矩阵,A,满足其本身的零化特征多项式。,17,最小多项式,(1/,3),2.,最小多项式,根据,凯莱,-,哈密尔顿定理,任一,n,n,维矩阵,A,满足其自身的特征方程,即,特征多项式,为,A,的一个零化多项式,。,f,(,A,)=,A,n,+,a,1,A,n,-1,+,a,n,-1,A+,a,n,I,=0,n,阶,矩阵,A,的,特征多项式,为,f,(,)=|,I-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,然而特征多项式,不一定,是,A,的,最小阶次,的零化多项式。,将矩阵,A,满足的最小阶次的首一零化多项式称为,最小多项式,也就是说,定义,n,n,维矩阵,A,的,最小多项式,为满足,(,A,)=,A,m,+,1,A,m,-1,+,m,-1,A,+,m,I,=0,m,阶,m,n,的,阶次最低的首一多项式,(,)=,m,+,1,m,-1,+,m,-1,+,m,18,最小多项式,(,2/3),最小多项式,在矩阵多项式的分析与计算中起着重要作用。,定理,3-2,给出了,特征多项式,与,最小多项式,的,关系,。,定理,3-2,设首一多项式d,(,),是,I,-,A,的,伴随矩阵,adj(,I,-,A,),的所有元素的,最高公约式,则,最小多项式,为,(,)=,m,+,1,m,-1,+,m,-1,+,m,19,最小多项式,(,3/3),证明,由假设知,矩阵,adj(,I,-,A,),的最高公约式为,d,(,),故,adj(,I,-,A,)=,d,(,),B,(,),式中,B,(,),的,n,2,个元素,(,为,的函数,),的最高公约式为,1,。,由于,(,I,-,A,)adj(,I,-,A,)=|,I,-,A,|,I,可得,d,(,)(,I,-,A,),B,(,),=|,I,-,A,|,I,由上式可知,特征多项式,|,I,-,A,|,可被整除,d,(,),。,因此设,d,(,),整除,|,I,-,A,|,得到的因式记为,(,),故有,|,I,-,A,|=,d,(,),(,),20,最小多项式,(,4/3),由于首一多项式,d,(,),的最高阶次的系数为,1,所以,(,),的最高阶次的系数也应为,1,。,因此,综合上两式,可得,(,I,-,A,),B,(,),=,(,),I,因而,(,A,)=0,即,(,),亦为,A,的零化多项式。,设,(,),为,A,的最小多项式,因此零化多项式,(,),可写为,(,)=,g,(,),(,),+,e,(,),其中,g,(,),和,e,(,),分别是多项式,(,),除以,(,),的商和余项,且,e,(,),的阶次低于,(,),。,21,最小多项式,(,5/3),由于,(,A,)=0,和,(,A,)=0,所以必然有,e,(,A,)=0,。,考虑到,(,),为矩阵,A,的最小多项式,所以不存在比,(,),阶次还低的,A,的零化多项式,故,e,(,),必为零,即有,(,)=,g,(,),(,),又因为,(,A,)=0,所以,(,),可写为,(,),I,=(,I,-,A,),H,(,),式中,H,(,),为,(,),的一个因子矩阵,故,(,),I,=,g,(,),(,),I,=,g,(,)(,I,-,A,),H,(,),将上式与,(,I,-,A,),B,(,),=,(,),I,比较,有,B,(,),=,g,(,),H,(,),22,最小多项式,(,6/3),又因为,B,(,),的,n,2,个元素的最高公约式为,1,因此,g,(,)=1,于是,(,)=,(,),因此,由前面证明的,|,I,-,A,|=,d,(,),(,),而证明了最小多项式,(,),为,23,最小多项式,(,7/3),根据上述定理,3-2,n,n,维矩阵,A,的,最小多项式,可按以下,步骤求出,。,1),根据伴随矩阵,adj(,I,-,A,),写出作为,的,因式分解,多项式的,adj(,I,-,A,),的各元素,;,2),确定作为伴随矩阵,adj(,I,-,A,),各元素的,最高公约式,d,(,),。,选取,d,(,),的最高阶次系数为,1,。,如果不存在公约式,则,d,(,)=1;,3),最小多项式,(,),可由,|,I,-,A,|,除以,d,(,),得到。,24,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(1/,4),3.,塞尔维斯特内插法,计算,矩阵指数函数,基于最小多项式,(,或特征多项式,),塞尔维斯特内插法可以非常简洁、快速地计算出矩阵指数函数,其计算思想与过程可描述如下。,若,(,)=,m,+,1,m,-1,+,m,-1,+,m,为,矩阵,A,的,最小多项式,则由,(,A,)=0,有,A,m,=-,1,A,m,-1,-,m,-1,A-,m,I,即,A,m,可用有限项,A,m,-1,A,I的线性组合来表示。,25,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(,2/4),将上式两边乘以矩阵,A,则有,即,A,m+,1,可用有限项,A,m,-1,A,I,的线性组合来表示。,Understand?,26,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(,3/4),其中,i,(,t,),(,i,=0,1,m,-1),为,待定,的关于时间,t,的,函数,。,即,矩阵指数函数,e,At,亦可以用有限项,A,m,-1,A,I,的线性函数组合表示。,依次类推,则可知,A,i,(,i,m,),可用有限项,A,m,-1,A,I,的线性组合来表示。,因此,我们有,关键喔,27,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(,4/4)利用上式去计算矩阵指数函数,e,At,的,关键是,如何计算待定函数,i,(,t,),。,下面分,A,的特征值互异,A,有重特征值,两种情况来讨论如何计算,i,(,t,),以及,e,At,。,28,(1),A,的,特征值,互异,设矩阵,A,的,n,个互异特征值为,1,2,n,则矩阵,A,的,最小多项式,(,),等于,特征多项式,f,(,)=|,I,-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,。,因系统的所有特征值,i,使特征多项式,f,(,i,)=0,故与前面证明过程类似,我们亦有,A,的特征值互异,(1/4),其中待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,n,-1)与矩阵指数函数,e,At,的表达式中的,i,(,t,),一致。,29,A,的特征值互异,(2/4),因此,可得如下待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,n,-1),的线性方程组:,求解,上述方程得函数,i,(,t,),后,由式(,3-49),可计算得矩阵指数函数,e,At,。,30,A,的特征值互异,(3/4)-,例,3-7,例,3-7,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解,由于矩阵,A,的3个特征值互异,并分别为-1,-2,和-3,因此解方程组(,3-52),可得,31,A,的特征值互异,(4/4),则系统的状态转移矩阵为,32,A,有重特征值,(1/4),(2),A,有,重,特征值,由于矩阵,A,与它的约旦矩阵,具有相同的最小多项式,(,),因此,由前面的推导过程可知,约旦矩阵,也满足,设,A,与,的特征值,i,的代数重数为,m,i,则由上式很容易证明,i,(,t,),满足,求解上述方程,则可,求得,待定函数,i,(,t,),。,33,A,有重特征值,(2/4),为清楚说明问题,设,A,和,有如下6个特征值:,1,1,1,2,2,3,。,则相应的矩阵指数函数计算式(,3-49),中的待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,5),的计算式为,34,A,有重特征值,(3/4),例,3-8,值得指出的是,上述,塞尔维斯特内插法,不仅对,矩阵,A,的,最小,多项式,成立,而且对所有,矩阵,A,的,零化,多项式,也成立。,因此,在难以求解最小多项式时,上述方法中的,最小多项式,可用,矩阵,A,的,特征多项式,代替,所得结果一致,仅,计算量,稍大,。,例,3-8,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,35,A,有重特征值,(4/4),例,3-8,解,解矩阵,A,的特征方程,得特征值为1,1,和2。,由于特征值,2,为二重特征值,下面按基于,最小多项式,和,特征多项式,两种多项式用,塞尔维斯特插值法,计算矩阵指数函数。,36,A,有重特征值,(5/4),例,3-8,(,1,),基于最小多项式计算,先计算伴随矩阵,因此,伴随矩阵,adj(,I,-,A,),各元素的最高公约式为,(,-2,),故最小多项式,(,),为,37,A,有重特征值,(6/4),例,3-8,由于最小多项式的阶次为,2,则根据塞尔维斯特插值法,矩阵指数函数可以表示为,因此,待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1),计算如下,则系统的矩阵指数函数为,38,A,有重特征值,(7/4),例,3-8,(,2,),基于特征多项式计算,由于特征多项式的阶次为,3,则根据塞尔维斯特插值法,矩阵指数函数可以表示为,因此,待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,2),计算如下,39,A,有重特征值,(8/4),例,3-8,则系统的矩阵指数函数为,40,