1、01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构,01_05 晶体宏观对称性,晶体在几何外形上表现出明显对称性,对称性性质也在物理性质上得以表达,介电常数表示为二阶张量,电位移,第1页,第1页,电位移,对于立方对称晶体,介电常数看作一个简朴标量,第2页,第2页,六角对称晶体,将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴平面内,介电常数,第3页,第3页,平行轴(六角轴)分量,垂直于六角轴分量,由于六角晶体各向异性，含有光双折射现象,立方晶体光学性质则是各向同性,第4页,第4页,原子周期性排列形成晶格,不同晶格表现出不同宏观对称性,晶体宏观对称性 考察晶体在正交变换不变性,三维情况下，正交变换表示,矩阵是正交矩阵,晶体
2、宏观对称性描述,第5页,第5页,绕z轴转,角正交矩阵,第6页,第6页,中心反演正交矩阵,空间转动，矩阵行列式等于1,空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1,第7页,第7页,对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变,1 立方体对称操作,1)绕三个立方轴转动,9个对称操作,物体对称操作越多，其对称性越高,第8页,第8页,共有6个对称操作,2)绕6条面对角线轴转动,第9页,第9页,8个对称操作,3)绕4个立方体对角线轴转动,4)正交变换,1个对称操作,第10页,第10页,立方体对称操作共有48个,5)以上24个对称操作,加中心反演仍是对称操作,第11页,第11页,4重轴、3重轴、2重轴表示,第12
3、页,第12页,2 正四周体对称操作,四个原子位于正四周体四个顶角上,金刚石晶格,对称操作包括在,立方体操作之中,第13页,第13页,共有3个对称操作,1)绕三个立方轴转动,8个对称操作,2)绕4个立方体对角线轴转动,3)正交变换,1个对称操作,第14页,第14页,6个对称操作,4)绕三个立方轴转动,加中心反演,6个对称操作,5)绕6条面对角线轴转动,加上中心反演,正四周体,对称操作共有24个,第15页,第15页,3 正六面柱对称操作,1)绕中心轴线转动,5个,3个,3)绕相对面中心连线转动,3个,4)正交变换,5)12个对称操作加中心反演,正六面柱对称操作有24个,2)绕对棱中点连线转动,1个
4、第16页,第16页,对称素 简练明了地概括一个物体对称性,对称素 一个物体旋转轴、旋转反演轴,物体绕某一个转轴转动,加上中心反演联合操作,以及其联合操作倍数不变时,该轴为n重旋转反演轴，计为,4 对称素,物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时,该轴为n重旋转轴，计为,第17页,第17页,面对角线 为2重轴，计为2,立方体,立方轴 为4重轴，计为4,同时也是4重旋转反演轴，计为,同时也是2重旋转反演轴，计为,第18页,第18页,体对角线轴 为3重轴，计为3,同时也是3重旋转反演轴，计为,第19页,第19页,正四周体,体对角线轴是3重轴,不是3重旋转反演轴,立方轴是4重旋转反演轴,不是4重轴,
5、面对角线是2重旋转反演轴,不是2重轴,第20页,第20页,对称素 含义,先绕轴转动角度,，再作中心反演,A点是A点在通过中心垂直于转轴平面M镜像,对称素 存在一个对称面M,用 表示,一个物体所有对称操作构成一个对称操作群,对称素为镜面,第21页,第21页,5 群概念,群代表一组“元素”集合，G,E,A,B,C,D,这些“元素”被赋予一定“乘法法则”，满足下列性质,1)集合G中任意两个元素“乘积”仍为集合内元素,若 A,B,G,则AB=C,G.,叫作群封闭性,2)存在单位元素E,使得所有元素满足：AE=A,3)对于任意元素A,存在逆元素A,-1,有：AA,-1,=E,4)元素间“乘法运算”满足结
6、合律：A(BC)=(AB)C,第22页,第22页,正实数群 所有正实数(0 除外)集合，以普通乘法为,运算法则,整数群 所有整数集合，以加法为运算法则,一个物体,所有对称操作,集合满足上述群定义,运算法则 ,连续操作,第23页,第23页,单位元素,不动操作,任意元素,逆元素,绕转轴角度,，其逆操作为绕转轴角度,；中心反演逆操作仍是中心反演；,连续进行A和B操作,相称于C操作,A 操作,绕OA轴转动,/2,S点转到T点,B 操作,绕OC轴转动,/2,T点转到S点,S,第24页,第24页,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点,相称于一个操作C：绕OS轴转动2,/3,表示为,群封闭性,能够证实,满
7、足结合律,S,第25页,第25页,6 立方对称晶体介电系数为一个标量常数证实 1,X，Y，Z轴分量,X，Y，Z轴为立方体三个立方轴方向,假设电场沿Y轴方向,第26页,第26页,将晶体和电场同时绕Y轴转动,/2,转动实行,电场没变,同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别,应有,第27页,第27页,将晶体和电场同时绕Z轴转动,/2,假设电场沿Z轴方向,因此,第28页,第28页,再取电场方向沿111方向,第29页,第29页,绕111轴转动2,/3,晶体经历一个对称操作,第30页,第30页,正四周体晶体上述结论亦然成立,介电常数论证和推导也适合于一切含有,二阶张量形式宏观性质：如导电率、热导率等,第31页,第31页,立方对称晶体介电系数为一个标量常数证实 2,对称操作相应正交变换,且有,介电常数,在坐标变换下,第32页,第32页,A为对称变换,对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转,/2,第33页,第33页,代入,进一步选择其它对称操作，最后得到,对于n阶张量形式物理量，系数用n阶张量表示,在坐标变换下,假如A为对称操作,可简化n阶张量,第34页,第34页,
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