高中数学-等差数列和等比数列竞赛试题-新人教A版必修5.doc

等差数列和等比数列知识点归纳 1、等差数列：(1)、定义：；(2)、通项公式：；(3)、前项和公式：；(4)、任意两项有；(5)、对于任意正整数.若；则；(6)、若均是等差数列，则也是等差数列.()2、等比数列：(1)、定义：；(2)、通项公式：；(3)、前项和公式：；(4)、任意两项有；(5)：对于任意正整数，若，则；(6)、无穷递缩等比数列所有项和公式：.二数列的求和1、等差数列的前n项和公式. 等比数列的前n项和公式：Sn= ， Sn= ；Sn=（d=0）当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式；当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=2、基本公式法：等差、等比数列的前n项和公式、3、拆项法求数列的和，如an=2n+3n 4、错位相减法求和，如an=(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5、分裂项法求和，如an=1/n(n+1) （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）6反序相加法求和，如an=例题讲解：1、删去正整数数列1,2,3,中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是A.2046 B.2047 C.2048 D.20492、已知数列，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于A. B. C. D. 3、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是。4、等比数列,，的公比是_.5、设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_.6、在数列中, ,设为数列的前项和,则 .7、已知数列满足关系式，则的值是_。8、设数列的前项的和，（）、求首项与通项；（）、设，证明：9、数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.10、设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和11、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、Bn(n,yn)（nN） 顺次为一次函数图象上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、An(xn,0)（nN）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a0a1），对于任意nN，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形。1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+1234nxOy求yn的通项公式，且证明yn是等差数列；试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列xn的通项公式；在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。练习：1、已知数列满足且,其前项之和为,则满足不等式的最小整数是A.5 B.6 C.7 D.82、设等差数列满足,且,为其前项之和,则中最大的是A. B. C. D.3、等比数列中,公比,用表示它的前项之积,则中最大的是A. B. C. D.4、已知数列满足,记,则下列结论正确的是 A. B.C. D.5、给定公比为的等比数列,设,则数列A.是等差数列车员 B.是公比为的等比数列C.是公比为的等比数列 D.既非等差数列又非等比数列6、设数列满足,且对任意自然数,都有,又,则的值是 .7、各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的 数列至多有 项.8、已知an=(n=1, 2, )，则S99=a1+a2+a99 9、已知数列，前n项部分和满足，则 .解答题：10、个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知,试求的值.11、设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。12、数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当13、已知为实数,数列满足:,(). (1)当时,求证:;(2)证明:存在正整数,使成立;(3)当时,设是数列的前项和,是否存在实数及正整数,使得?若存在,求出与的值,若不存在,请说明理由.答案：1、C 在数列1,2,3,2003中,删去了44个()完全平方数,现给该数列再补上44项,得.所补的44个数中还有1个()完全平方数,把它删除,再补上一项20482、D 3、4、_5、答案： 易知数列是首项是，公比是的等比数列，于是，故最小整数是7.6、 ,代入可得.7、解：设即 故数列是公比为2的等比数列，.8、解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得： （其中n为正整数）（II）所以： 9、解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有由知为正有理数，故为的因子之一，解得故（2）10、【解析】（1）由求根公式，不妨设，得 （2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得11、解：（1）(nN),yn+1-yn=,yn为等差数列 （2）xn+1-xn=2为常数 (6) x1,x3,x5,x2n-1及x2,x4,x6,，x2n都是公差为2的等差数列， x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a， xn= （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()xn+1-xn=2() 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2() a=(n为奇数，0a1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n5，则(*)无解； 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，xn+1-xn=2a.2a=2()a=(n为偶数，0a1) (*)，取n=2，得a=,若n4，则(*)无解. 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、.练习答案：1、C 由递推式变形得:,令,则且-1=8.得是首项为8,公比为的等比数列,于是,得, ,所以, 得,所以满足这个不等式的最小整数.2、C 设等差数列的公差为,由,得,即,所以,则,最大.3、C 由已知,得,知,为正数,为负数,且,得最大.4、A 由，所以，即是周期为6的数列，得，又+，得。5、C 由题设,则.6、200 由 两式相减得:,又,有；,由得,所以,从而,于是.7、8 设是公差为4的等差数列,则,由已知:+.此关于为未知数的一元二次不等式有解,应有,有,得,又,所以的最大值是8,即满足题设的数列至多有8项.8、an+a100-n=+=，所以S99=9、解：.解答题：10、(分析) 设,第一行数的公差为,第一列数的公比为,可得解:设第一行数列公差为,各列数列的公比为,则第四行数列公差是,于是可得 解此方程组,得,由于所给个数都是正数,必有,从而有,于是对任意的,有.得, 又 两式相减后得:所以 .11、解：（I）依题意得，即。当n2时，;当n=1时，-21-1-61-5；所以。（II）由（I）得，=。因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10。 12、解: ()因为所以一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立.13、证明:(1)当时,;当时,;于是,当时,. (2)(i)假设对所有的,则对所有的,有,知数列是首项为,公差为的等差数列，,为常数,故对于充分大的,会有,这与假设矛盾! 满足的正整数存在; (ii)假设对所有的,则对所有的,有,则,知数列是首项为,公比为的等比数列,即,显然,当,为奇数时,;当,为偶数时,;均与假设矛盾!由以上可知,满足的正整数存在. (3)下面对分情况讨论:当时,此时,不存在实数及正整数,使得.当时,此时,令,得,存在,使得.当时,此时,不存在实数及正整数,使得.当时,=2.此时,不存在正整数,使得.综上所述:存在,使得. 21