高中数学-等差数列和等比数列竞赛试题-新人教A版必修5.doc

等差数列和等比数列
知识点归纳
1、等差数列：(1)、定义：；
(2)、通项公式：；
(3)、前项和公式：；
(4)、任意两项有；
(5)、对于任意正整数.若；则；
(6)、若均是等差数列，则也是等差数列.()
2、等比数列：
(1)、定义：；(2)、通项公式：；
(3)、前项和公式：；
(4)、任意两项有；
(5)：对于任意正整数，若，则；
(6)、无穷递缩等比数列所有项和公式：.
二．数列的求和
1、等差数列的前n项和公式. 等比数列的前n项和公式：
Sn= ， Sn= ；Sn=（d=0）
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式；当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn= Sn=
2、基本公式法：等差、等比数列的前n项和公式、

3、拆项法求数列的和，如an=2n+3n
4、错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）
5、分裂项法求和，如an=1/n(n+1)
（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）
6反序相加法求和，如an=
例题讲解：
1、删去正整数数列1,2,3,中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是
A.2046 B.2047 C.2048 D.2049

2、已知数列，，，，，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于
A. B.　　　 C.　　　　 D.
3、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是＿＿＿＿。

4、等比数列,，的公比是___________.

5、设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_________________.

6、在数列中,, ,设为数列的前项和,则 .

7、已知数列满足关系式
，则的值是_____________。

8、设数列的前项的和，
（Ⅰ）、求首项与通项；
（Ⅱ）、设，，证明：

9、数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.

10、设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．

11、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）
顺次为一次函数图象上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形。
1
A1
A2
A3
A4
A5
B1
B2
B3
B4
Bn
An
An+1
2
3
4
n
x
O
y
…

⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。

练习：
1、已知数列满足且,其前项之和为,则满足不等式的最小整数是
A.5 B.6 C.7 D.8
2、设等差数列满足,且,为其前项之和,则中最大的是
A. B. C. D.
3、等比数列中,,公比,用表示它的前项之积,则中最大的是
A. B. C. D.
4、已知数列满足,,记,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
5、给定公比为的等比数列,

设,,,,
则数列
A.是等差数列车员 B.是公比为的等比数列
C.是公比为的等比数列 D.既非等差数列又非等比数列
6、设数列满足,,且对任意自然数,都有,又,
则的值是 .
7、各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的 数列至多有 项.
8、已知an=(n=1, 2, …)，则S99=a1+a2+…+a99＝
9、已知数列，，前n项部分和满足，则 .
解答题：
10、个正数排成几行几列:

其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知,,,试求的值.

11、设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

12、数列

(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当

13、已知为实数,数列满足:
,,().
(1)当时,求证:;

(2)证明:存在正整数,使成立;
(3)当时,设是数列的前项和,是否存在实数及正整数,使得?若存在,求出与的值,若不存在,请说明理由.

答案：
1、C 在数列1,2,3,,2003中,删去了44个()完全平方数,现给该数列再补上44项,得.所补的44个数中还有1个()完全平方数,把它删除,再补上一项2048
2、D
3、
4、_
5、答案： 易知数列是首项是，公比是的等比数列，∴，
于是，
∵，，故最小整数是7.

6、
,

代入可得.

7、解：设 即 故数列是公比为2的等比数列，
.

8、解：（I），解得：

所以数列是公比为4的等比数列
所以：得： （其中n为正整数）
（II）

所以：

9、解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得
故
（2）
∴

10、【解析】（1）由求根公式，不妨设，得

（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，
由题意可知，
①当时，此时方程组的解记为

即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,
两式相减，得
，，
，
，即，
②当时，即方程有重根，，即，得，不妨设，由①可知
，，

即，等式两边同时除以，得，
即
数列是以1为公差的等差数列，
,
综上所述，
（3）把，代入，得，解得

11、解：（1）(nÎN),yn+1-yn=,
∴{yn}为等差数列
（2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，
x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则
|AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解；
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，
取n=2，得a=,若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、.
练习答案：

1、C 由递推式变形得:,令,则且-1=8.得是首项为8,公比为的等比数列,于是,得,
,
所以, 得,所以满足这个不等式的最小整数.

2、C 设等差数列的公差为,由,
得,即,所以,则,,最大.

3、C 由已知,
得,知,,为正数,为负数,且,
,得最大.

4、A 由，
所以，即是周期为6的数列，得，又+
，
得。
5、C 由题设,
则.

6、200 由 ①
②
两式相减得:,又,有；,由①得,所以,从而,于是.

7、8 设是公差为4的等差数列,则,由已知:+.此关于为未知数的一元二次不等式有解,应有,
有,得,又,所以的最大值是8,即满足题设的数列至多有8项.

8、an+a100-n=+=，
所以S99=

9、解：
.

解答题：

10、(分析) 设,第一行数的公差为,第一列数的公比为,可得
解:设第一行数列公差为,各列数列的公比为,则第四行数列公差是,于是可得

解此方程组,得,由于所给个数都是正数,必有,从而有,
于是对任意的,有.得
,
又
两式相减后得:
所以 .

11、解：（I）依题意得，即。
当n≥2时，;
当n=1时，×-2×1-1-6×1-5；所以。
（II）由（I）得，

=。因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。

12、解: (Ⅰ)因为
所以
一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，

所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

13、证明:(1)当时,
,,∴;
当时,,,∴;
于是,当时,.
(2)(i)假设对所有的,,则对所有的,有,知数列是首项为,公差为的等差数列，
∴,∵为常数,故对于充分大的,会有,这与假设矛盾! ∴满足的正整数存在;
(ii)假设对所有的,,则对所有的,有,则,知数列是首项为,公比为的等比数列,∴,即,
显然,当,为奇数时,;当,
为偶数时,;均与假设矛盾!
由以上可知,满足的正整数存在.
(3)下面对分情况讨论:
①当时,
,,,,
,,,…
此时,,不存在实数及正整数,
使得.
②当时,,,,,…
此时,,令,得,
∴存在,,使得.
③当时,,,,
,…此时,,不存在实数及正整数,使得.
④当时,,…=2.
此时,,不存在正整数,使得.
综上所述:存在,,使得.

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