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第二章 点、直线、平面之间的位置关系（章末小结）
一.本章知识结构及知识点详析：

直
线
与
平
面
平面
线
与
平
面
空间两条直线
空间
直线与平面
空间两个平面
平面的概念和性质
平面的表示法
平行直线
异面直线
相交直线
直线在平面内
直线与平面平行
直线与平面相交
两个平面平行
两个平面相交
公理4及等角定理
异面直线所成的角
判定
性质
概念
垂直
斜交
二面角
判定
性质
概念
垂直
斜交

（一） 平面
1、平面的概念及表示
①平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是绝对平、具有无限延展性.
②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面ABCD、平面AC等.
③如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画.
2．描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.
点A在直线a上（或直线a经过点A）

A∈a
元素与集合间的关系
点A在直线a外（或直线a不经过点A）

Aa
点A在平面α内（或平面α经过点A）

A∈α
点A在平面α外（或平面α不经过点A）

Aα
3．平面的基本性质（三个公理）
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理1作用：判断直线是否在平面内
公理2作用：确定一个平面的依据
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
　（二）空间直线
1、空间两条直线的位置关系
（1）相交直线——有且仅有一个公共点；　　
（2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；
　　（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.
　　2、平行直线
　　（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.　　
符号表示：设a,b,c为直线，
　　（2）空间等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那
么这两个角相等.
　　推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角
（或直角）相等.
　 3、异面直线　　
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
　　（2）有关概念：
　　（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，
ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
　　特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.
　　认知：设为异面直线a，b所成的角，则.
　　（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公
垂线.
　　（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫
做两条异面直线的距离.
　　（三）空间直线与平面
　　 1、直线与平面的位置关系：　
（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；
　　（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；　　
（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.
　　其中，直线和平面相交与直线和平面平行统称为直线在平面外.
　　2、直线与平面平行
　（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此
为证明直线与平面平行的原始依据.
　（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线
和这个平面平行.
　认知：应用此定理证题的三个环节：指出，说明；论证∥∥
（3）性质：性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个
平面相交，那么这条直线和交线平行.
　 3、直线与平面垂直
　 （1）定义：如果直线和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线和平面 互
相垂直，记作⊥ .
　 （2）判定：
判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂
直于这个平面.
符号表示：
判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这
个平面.　
符号表示：∥,⊥⊥
　　（3）性质
　　 性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.　
符号表示： ⊥,⊥∥
　　（4）概念
　　（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距
离叫做这个点到这个平面的距离.
　　（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到
这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
（ⅲ）斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的
直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线和这个平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°
（四）空间两个平面
　　1、两个平面的位置关系
　　（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.
　　（2）两个平面的位置关系　
（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；　
（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.
　　2、两个平面平行
　　（1）判定
　　判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
平行.
　　判定定理2（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.
　　（2）性质
　　性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
　　性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都
平行于另一个平面.
3、两个平面垂直
（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号表示：α⊥β.
（2）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
符号表示：AB⊥β.
　　4、有关概念
　　（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个
平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.
　　（2）两个平行平面的公垂线段都相等.　　
（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.
（4）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直
线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
二面角常用直立式和平卧式两种画法
二面角的表示方法：棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
5、认知：
　　两平面平行的判定定理的特征：线面平行 面面平行，或线线平行 面面平行；
　　两平面平行的性质定理的特征：面面平行 线面平行，或面面平行 线线平行.

　　它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.
（五）思想方法小结
掌握直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直的证明（判定）方法是本章的重要内容，必须熟练掌握各种常用的证明定理。
(1) 直线与直线平行，常用的证明方法有：
i 共面且无公共点的两条直线平行；（定义）
ii 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么直线和交线平行；（线面平行，线线平行）
iii 同平行于一条直线的两条直线平行；
iv 若两平面平行，又分别与第三个平面相交，则它们的交线平行；
v 垂直于同一平面的两条直线平行.
(2) 直线与平面平行，常用的证明方法有：
i 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行；（定义）
ii 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；（判定）（线线平行，线面平行）
iii 如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一条直线平行于另一个平面.（面面平行，线面平行）
(3) 平面与平面平行，常用的证明方法有：
i 两个平面没有公共点，则这两个平面平行；（定义）
ii 若一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；（判定）（线面平行，面面平行）
iii 垂直于同一直线的两个平面平行；
iv 两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行
v 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交线，那么这两个平面平行.(线线平行，面面平行)
(4) 直线与直线垂直，常用的证明方法有：
i 如果两条直线所成的角是90°，则这两条直线垂直；（判定）
ii 一条直线与两条平行直线中的一条垂直，则它与两条平行直线中的另一条也垂直；
iii 一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任一条直线；
iv 三个平面两两垂直，则它们的三条交线也两两互相垂直.
(5) 直线与平面垂直，常用的证明方法有：
i 若一条直线垂直于平面内的任何直线，则这条直线垂直于平面；（定义）
ii 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面；（判定）
iii 两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
iv 两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面；
v 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面.
(6) 平面与平面垂直，常用的证明方法有：
i 若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则两平面垂直；
ii 若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直.（判定）
iii 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；
iv 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直.
v 如果三条共点直线两两垂直，则它们中每两条直线确定的平面也两两互相垂直.

二．基础过关检测：
1、下面四个命题中，真命题的个数为（　　）
⑴如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ⑵两条直线可以确定一个平面
⑶若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l ⑷空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
A. 1　　　　B.2　　　　C. 3　　　　　D.　4　　　
2、如果a⊥b，那么a与b（　　）
A. 一定相交　　　B. 一定异面　　　C. 一定共面　　D.　一定不平行　
A
F
B
S
E
C
3、两等角的一条对应边平行，则（　　）
A. 另一条对应边平行　B. 另一条对应边不平行　C. 另一条对应边也不可能垂直　D.　以上都不对　
4、如图：点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是（　　）A. 1　　　B. 　　　C.　　　D.
5、平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条异面线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是（　　）A. 平行　　　B. 相交　　　C. 垂直　　D.　不能确定　
6、正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二 面角，则异面直线AD与BF所成的角的余弦值是
C
D
B
A
·
·
M
N
7、如图：A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和 △ ACD的重心，若BD＝6，则MN＝___________.
8、设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角。求证：平面PCB⊥平面ABC.
B
F
C
G
H
A
E
D
9、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a。⑴求证：MN∥平面PAD；⑵求证：平面PMC平面PCD.
10、如图：已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD 的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证直线EF、GH、AC交于一点.
基础过关检测答案：
1．A 2.D 3.D 4.B 5.A 6. 7.2
8. 证明：取BC的中点D，连结PD、AD，∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点∴BD=CD=AD，
又PA=PB=PC，PD是公共边 P
N
C
B
M
A
D
E
∴ ∴∠PDA=∠PDB=∠PDC=90° ∴由PD⊥BC，PD⊥DA，得PD⊥平面ABC∴又PD平面PCB ∴平面PCB⊥平面ABC.
9. 证明：⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，
由N为PD的中点知ENDC，又∵ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB
又∵M是AB的中点，∴ENAN，∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD ∴MN∥平面PAD
B
F
C
G
H
A
E
D
⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.
10. 证明：∵AE＝EB，AH＝HD，∴EH//BD，且EH＝BD，∵，
∴FG//BD，且FG＝BD，∴EH//FG，且EH≠FG，故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，
设交点为P， ∴P∈平面ABC，又P∈平面DAC，
又平面BAC∩平面DAC＝AC，故P∈AC， 即EF、GH、AC交于一点.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系（章末小结）

重点知识综合应用：
类型一：点、线、面位置关系：
例题1：如图，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形A—BCD的四边上，求证：若EH与FG所在的两直线相交于点P，则点P必在BD所在的直线上．
问题分析：要证明点P在BD上，只须证明点P既在平面ABD内，又在平面BDC内，则可得点P在平面ABD与平面BDC的交线上，即点P在直线BD上．
问题解答：∵点P是EH与FG的交点，
∴点P既在直线EH上，也在直线FG上，
而直线EH、FG分别在平面ABD和平面BCD内，
∴点P既在平面BCD内，又在平面ABD内，故点P必在两平面的交线上，而平面ABD交平面BCD于BD，∴点P∈BD．
知识总结：在本例进行证明时，若想不到论证点P是平面ABD与平面CBD的公共点，也就无法获得使本例得证的突破口．
评注：①证明点在线上时，通常先证明这个点既在某一平面上，又在另一个平面上，而此直线就是这两个平面的交线．
②公理2是确定两个平面是否相交的依据，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有公共点，则必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线．
类型二：线面平行的判定：
例题2：　已知点是正三角形所在平面外的一点，且，为上的高，、、分别是、、的中点，试判断与平面的位置关系，并给予证明
问题分析：分析1：如图，观察图形，即可判定平面，要证明结论成立，只需证明与平面内的一条直线平行．
观察图形可以看出：连结与相交于，连结，就是适合题意的直线．
怎样证明？只需证明是的中点．
分析2：要证明平面，只需证明平面平面，要证明平面平面，只需证明，而，可由题设直接推出．
问题解答：
证法1：连结交于点，
∵是的中位线，∴．在中，是的中点，且，
∴为的中点． 则是的中位线，∴．又平面，平面，∴平面．
证法2：∵为的中位线，∴．
∵平面，平面，∴平面．
同理：平面，，∴平面平面，又∵平面，∴平面．
知识总结：要证明直线与平面平行，可以用直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；（线线平行，线面平行）
也可以用：如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。（面面平行，线面平行）
类型三：异面直线之间的距离的计算：
例题3：在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离．
问题分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若和是两条异面直线，则过且平行于的平面必平行于过且平行于的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．
具体解法可按如下几步来求：①分别经过和找到两个互相平行的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平行平面间的长度．
问题解答：
解：如图，
根据正方体的性质，易证：
连结，分别交平面和平面于和
因为和分别是平面的垂线和斜线，
在平面内，，
∴，同理：
∴平面，同理可证：平面∴平面和平面间的距
离为线段长度．
如图所示：
在对角面中，为的中点，为的中点∴．
∴和的距离等于两平行平面和的距离为.
知识总结：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距离．设、是两条异面直线，作出经过且和平行的平面，通过计算和的距离，得出和距离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距离，设、是两条异面直线，作出经过而和平行的平面，再作出经过和平行的平面，通过计算、之间的距离得出和之间的距离．
类型四：线面垂直的判定：
例题4：在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.
求证：A1O⊥平面GBD.
证明：
BD⊥A1O.
又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=, OG2=OC2+CG2=()2+()2=,
A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,∴A1O2+OG2=A1G2. ∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.
知识总结：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.
类型五：二面角的求法：
例题5：在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别为AB、SC的中点.
(1)证明EF∥平面SAD;
(2)设SD=2DC,求二面角A－EF－D的正切值.
解：(1)证明：作FG∥DC交SD于点G,则G为SD的中点.
连接AG, FGCD,又CDAB，AEAB故FGAE, 四边形AEFG为平行四边形.
所以EF∥AG.又AG平面SAD,EF平面SAD，所以EF∥平面SAD.
(2)解:不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,△ADG为等腰直角三角形.
如图,取AG中点H,连接DH,则DH⊥AG, DH=
又AB⊥平面SAD, 所以AB⊥AG,AB⊥DH.而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF即DH⊥EF
取EF中点M，连接MH,则MH=1 ∵HM∥AB,AB⊥AG,AG∥EF则HM⊥EF.
连接DM,EF⊥面HDM，则DM⊥EF. 故∠DMH为二面角AEFD的平面角.
tan∠DMH=. 所以二面角AEFD的正切值为.
类型六：线面角的定义和计算：
例题6：如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角．
问题分析：求与平面所成角，关键是确定在平面上射影的位置．由，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定位置.
问题解答：
解：如图所示，过作于．连结，
则为在面上的射影，为与平面所成的角．
作，由PO⊥AC可得AC⊥面POM则．
作，同理可得．
由，，，可得≌，∴．
∵、分别为、在内射影，∴．
所以点在的平分线上． 设，又，
∴，， ∴．
在中，，∴，即与所成角为．
知识总结：(1)本题在得出在面上的射影为的平分线后可由公式来计算与平面所成的角，此时，，．
(2)由与平面上射影为平分线还可推出下面结论：四面体中，若，，则点在面上的射影为的内心．
本章目标检测：
一． 选择题（本大题共12个小题，每小题5分）
1、下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
2、下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形
3、互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分
A． B． C． D．
4、如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角
形的中心）中，分别是 的中点，为上任
意一点，则直线与所成的角的大小是（　　）
A． B． C． D．随点的变化而变化
5、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6、若在长方体，底面是边长为的正方形，高为，
则点到截面的距离为( )
A． B． C． D．
7、下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B．同一平面的两条垂线一定共面；
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
8、在三棱锥中,底面,
则点到平面的距离是( )
A． B． C． D．
9、三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
10、在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11. 在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ）
A． B． C． D．
12. 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
二． 填空题（本大题共4个小题，每小题5分）
13、直线与平面所成角为，，
则与所成角的取值范围是 .
14、空间四边形中，分别是的中点，则与的
位置关系是_____________；四边形是__________形；当___________时，四边形是菱形；当___________时，四边形是矩形；当___________时，四边形是正方形
15、三棱锥则二面角
的大小为________.翰林汇

16、在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________.
三． 解答题（本大题共6个小题，共70分）
17、下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)

A
B
C
D
E
S
18、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱
AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；
B
A
D
C
C1
B1
D1
A1
G
O
E
F
19、如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点.
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

20、如图：正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1上一点，且D1G：GD＝1：2，AC∩BD＝O，
求证：平面AGO//平面D1EF

21如图，P为ABC所在平面外的一点，PAPB,PBPC,PCPA，PH平面ABC于H，求证：
P
（1）H是ABC的垂心
（2）ABC为锐角三角形

H
D
C
B
A

22、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
本章目标检测答案：
1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内或与平面相交.
2. D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；一组对顶角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形
3. D 八部分 可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交
4. B 连接，则垂直于平面，即，而，
5. C 当三棱锥体积最大时，平面，取的中点，
则△是等要直角三角形，即
6.C 利用三棱锥的体积变换：，则
7. D A中一组对边平行就决定了共面；B中同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
C中这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D中把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
8. B 作等积变换
9．C 同理AB⊥CH，AC⊥BH.
10．C 取的中点，取的中点，，
11．B 垂直于在平面上的射影
12．C 取的中点，则，由已知得:SA⊥BC,即GF⊥GE,则EF=
所以在△中，，
13. 直线与平面所成的的角为与所成角的最小值，当在内适当旋转就可以得到，即与所成角的的最大值为
14.异面直线；平行四边形；；；且
15． 注意在底面的射影是斜边的中点
16. 11 沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且
17．解：作正方体ABCD－A1B 1 C1 D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB 1 D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．
对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BA l D，
故得l⊥面MNP．
对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直
线都应在面CBl Dl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．
对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，
故l不垂直于面MNP． 对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA 1 D，故l⊥面MNP．
对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．
18．（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，
∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，
∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，
∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，
在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60．即二面角B1—AD—B的大小为60°
A
B
C
D
E
S
O
19．(1)证明：∵SA⊥底面ABCD，BDÌ底面ABCD，∴SA⊥BD
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD ∴BD⊥平面SAC，又BDÌ平面EBD∴平面EBD⊥平面SAC. (2)解：设AC∩BD＝O，连结SO，则SO⊥BD
由AB＝2，知BD＝2
SO＝∴S△SBD＝ BD·SO＝·2·3＝6
令点A到平面SBD的距离为h由SA⊥平面ABCD, 则·S△SBD·h＝·S△ABD·SA
∴6h＝·2·2·4 Þ h＝ ∴点A到平面SBD的距离为
B
A
D
C
C1
B1
D1
A1
G
O
E
F
H
20．证明：设EF∩BD＝H，在△DD1H中，，
∴GO//D1H，又GO平面D1EF，D1H平面D1EF，∴GO//平面D1EF，
在△BAO中，BE＝EA，BH＝HO，∴EH//AO
AO平面D1EF，EH平面D1EF，∴AO//平面D1EF，
AO∩GO＝O，∴平面AGO//平面D1EF。
21．（1）因为APPB，APPC，所以AP平面PBC，所以BCAP， 又因为BCPH，
从而BC平面APH，所以AHBC，同理BHAC，CHAB，所以H是ABC的垂心
（2）因为ADBC，所以ABC<90，ACB<90，同理BAC<90所以，ABC为锐角三角形
22．证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴
由AB2=AE·AC 得
故当时，平面BEF⊥平面ACD.

诠释共点、共线、共面问题的求解思维策略
点共线、线共点、点共面及线共面是立体几何中一类不可忽视的问题，本文略举数例，就这类问题的转化方法和求解思维策略作一导析，希望能给备考中的广大一线师生些许启发．
一、点共线问题
例１．已知Ａ、Ｂ、Ｃ是平面外三点，且ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别与交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ，求证：Ｅ、Ｆ、Ｇ三点共线．
分析：证明点共线问题，一般可以转化为证明这些点既在第一个平面内，又在第二个平面内，再根据公理2导出这些点就在这两个平面的交线上，即证得了点共线．

图１

A
B
C
E
Ｇ
F
证明：如图1，过Ａ、Ｂ、Ｃ作一平面，则ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ．
　 ∴Ｅ，Ｆ，Ｇ．
　 设＝
∵ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别与相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ，
∴Ｅ，Ｆ，Ｇ．
∴Ｅ、Ｆ、Ｇ必在与的交线上．
∴　Ｅ、Ｆ、Ｇ三点共线．
二、线共点问题
证明多线共点的基本思路是：先确定其中一条直线为分别含有另两条直线的两个平面的交线，再证明分别在两个平面内的两条直线相交，由公理2可知交点必在两个平面的交线上.
图2
例２．已知：如图2，△ABC与△A1B1C1 不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点.
证明：∵A1B1∥AB，∴A1B1与AB确定一平面A，
B1C1∥BC，∴B1C1与BC确定一平面B.
∵C1A1∥CA，∴C1A1与CA确定一平面γ. 易知B∩γ=C1C.
又∵△ABC与△ABC 不全等，∴A1A1与BB1相交，设交点为P，
∴P∈AA1，P∈BB1，而AA1Ìγ，BB1ÌB，∴P∈γ，P∈B，
∴P在平面B与平面γ的交线上，又B∩γ=C1C，
根据公理2知，P∈C1C，∴AA1、BB1、CC1交于一点.
P
A
B
D
E
F
C
Ｇ
图３
Ｈ
例３．如图３，已知空间四边形中，（即四个点不在同一平面内的四边形），Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＢＣ、ＣＤ上的点，且，
求证：直线ＥＦ、ＧＨ、ＡＣ相交于一点．
证明：Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，
∴ＥＨ∥ＢＤ且ＥＨ＝ＢＤ
∵Ｆ、Ｇ分别是边ＢＣ、ＣＤ上的点，
且，
∴ＦＧ∥ＢＤ，且ＦＧ＝ＢＤ．
故知ＥＨ∥ＦＧ且ＥＨ≠ＦＧ，即四边形为梯形，从而ＥＦ与ＧＨ必相交，
设交点为Ｐ．
∵ＰＥＦ，ＥＦ平面，　　∴Ｐ平面．
同理Ｐ平面．
∵平面平面＝ＡＣ，　∴ＰＡＣ．即ＥＦ、ＧＨ、ＡＣ交于一点Ｐ．
点评：证明多线共点问题，方法一：先证某两条直线交于一点，再证这一交点在第三条直线上即可．方法二：先证某一条直线与另外两条分别交于一点，然后证两交点重合即可．
三、点共面问题
证明若干个点共面，证明的主要理论根据是公理1和公理3及三个推论：公理1是判断直线在平面内的依据，公理3及三个推论是确定平面的基本方法，同时它也是判断几个平面是否重合的重要依据.
例４．(2007年江苏)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.求证：E、B、F、D1四点共面.
证明：如图，在DD1上取点N，使DN＝1，连结EN，CN，则
AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2．
因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四边形．
从而ENAD，FD1∥CN．
又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，
由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE．
因此，E、B、F、D1四点共面．
点评：证明点共面的方法：先由条件中部分元素确定一个平面，再证其它各点均在此平面内；对于点共线问题，只需证明各点同时在两相交平面，从而即可得证，各点同时在两平面的交线上.或者先确定其中两点所在直线为某二平面的交线，再证明点同时在两个平面上，由公理2知该点在这两个平面的交线上，从而使问题得证.
四、线共面问题
证明空间几条直线共面的问题，常可采用下面两种策略：（1）“同舟共济”策略：首先可根据公理2或其他的三个推论确定一个平面，然后证明其他的直线也在这个平面内；（2）“分舟过渡”策略：若确定一个平面后，不能证明其他直线也在这个平面内，则可再确定一个平面，最后证明这两个平面重合即可．
例５．如图３，直线ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ两两平行，且分别与直线相交于点Ａ、Ｃ、Ｅ，
A
B
C
D
E
F
图３

求证：ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三条直线共面．
　　证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，
　　∴ＡＢ、ＣＤ确定一个平面．
　　∵Ａ、Ｃ分别为ＡＢ、ＣＤ上的点，
　　∴Ａ