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南通市2010届高三模拟卷（二）
数 学 10.04
一．填空题：
1.若集合，则a= ▲ ．
2.已知复数，若 | z1 |＜| z2 |，则实数a的取值范围是 ．
3. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是　 　　．
体重
50 55 60 65 70 75

0．0375
0．0125

4.已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则的值为
5. 抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数，则“ 在[0，4]上至少有5个零点”的概率是 ．
6. 已知一个棱长为6cm的正方体盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的球，则球心到盒底的距离为 cm.
Read x
If x<5 Then
y← x2+1
Else
y←5x
Print y
7． 对于,不等式恒成立,则正实数p的取值范围为 .
8. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝ ．
9. 如图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（，n≤2009）的项，则所得y值中的最小值为 .
10. 已知直线是曲线的一条切线，则_______.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，P F1P F2 =4ab，则双曲线的离心率是 .
12. 在周长为16的中，，则的取值范围是 .
13. 设函数, A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为
的点，向量，向量i=（1，0），设为向量与向量i的夹角，则满足
的最大整数n是 .
14. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为 .
二．解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15（本题满分14分）已知,,,.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求的值.

F
A
B
C
P
D
E
第16题
16（本题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.
(Ⅰ) 求证：∥平面
(Ⅱ) 求证：平面.

17（本题满分15分）已知等差数列满足：。数列的前n项和为
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，试问：是否存在正整数n，使不等式成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由。

18（本题满分15分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB=2x,BC=y.
（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.

图1
图2
A
B
C
D
m

19（本题满分16分）如图，已知椭圆：的长轴长为4，离心率，为坐标原点，过的直线与轴垂直．是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．

（1）求椭圆的方程；
（2）证明点在以为直径的圆上；
（3）试判断直线与圆的位置关系．

20（本题满分16分）已知,
且.
(Ⅰ)当时,求在处的切线方程；
(Ⅱ)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为),试求的最大值；
(Ⅲ)是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

数学试卷 第4页（共4页）
南通市2010届高三模拟卷（二）
参考答案及评分标准
一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题纸相应位置上．
1. a= 2 2.的取值范围是 （－1，1） ．3.男生人数是　 48　　．
4.的值为____. 5. ．6.为 10 cm.7．为
8. 5 ． 9.为 17 . 10. __-2_ 11.是 .12.是 .
13.是 3 . 14.为 18 .
二．填空题：本大题共6小题，共90分,需写出解答过程,请把答案直接填写在答题纸相应位置上．
15. 解：（Ⅰ）因为,……………………………………………………2分
又,所以………………………………………6分
（Ⅱ）根据（Ⅰ），得……………………………………… 8分
而,且,所以
……………………………10分
故………………………12分
=……………………………………………………………14分
16. 证明：（Ⅰ）连结AC，则是的中点，在△中，EF∥PA…………………………3分
且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD…………………………………………6分
（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA…………………………………………………………………………………………9分
又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD…………12分
而CD∩PD=D，∴ PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC………………………14分
17．解：（1）设数列的公差为， 由，得，得．…2分
由数列的前和为可知，当时，，

当时，， 当时，得，
故数列的通项公式为,的通项公式为．………………………6分
（2）假设存在正整数使不等式成立，即要满足,
由，，
所以数列单调减，数列单调增，…………………………8分
①当正整数时，，所以不成立；……………10分
②当正整数时，，所以成立；………………12分
③当正整数时，， 所以不成立.
综上所述，存在正整数时，使不等式成立.………………14分
18（Ⅰ）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为. 所以 ，
得
依题意知： 得所以，（）.
（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有

.
因为,所以，当时，凹槽的强度最大.
答: 当时，凹槽的强度最大.
19．18.解：（1）由题设可得，解得，所以 所以 椭圆的方程为．
（2）设，则．
因为 ，所以 ．所以 ．所以 点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．
（3）设，则，且．
又，所以 直线的方程为．
令，得．又，为的中点，所以 ．
所以 ，．
所以
．
所以 ．所以 直线与圆相切．
20. 解: (Ⅰ)当时
因为当时,,,
且,
所以当时,,且………………………………(3分)
由于,所以,又,
故所求切线方程为,
即………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因为,所以,则
① 当时,因为,,
所以由,解得,
从而当时, …………………………………………(6分)
② 当时,因为,,
所以由,解得,
从而当时, ………………………………………(7分)
③当时,因为,
从而 一定不成立……………………………………………………………(8分)
综上得,当且仅当时,,
故 ………………………………………(9分)
从而当时,取得最大值为………………………………………………(10分)
(Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,
即“(*)对恒成立” ……………………………(11分)
① 当时,,则当时,,则(*)可化为
,即,而当时,,
所以,从而适合题意……………………………………………………………(12分)
② 当时,.
⑴ 当时,(*)可化为,即,而,
所以,此时要求………………………………………………………(13分)
⑵ 当时,(*)可化为,
所以,此时只要求……………………………………………………(14分)
(3)当时,(*)可化为,即,而,
所以,此时要求………………………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得符合题意要求.
综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是……………………………(16分)