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向量及三角函数.doc

1、三角函数、解三角形、平面向量一、三角函数的图象与性质例题1、(10年重庆6)已知函数的部分图象如题(1)图所示,则( )A、B、C、D、解析:周期 则例题2(10年四川6)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是(A) (B) (C) (D) 例题3(10年湖北)已知函数f(x)coscos,g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合解(1)因为f(x)coscoscos2xsin2xcos 2x,所以f(x)的最小正周期

2、为.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos,当2x2k(kZ)时,h(x)取得最大值.h(x)取得最大值时,对应的x的集合为试题分析 主要考查综合运用三角公式、三角函数图像和性质进行运算求解的能力以三角函数的运算和性质为主线,着重对基础知识和基本方法的考查题目难度不大,重视基础、强调应用重点考查 (1)三角恒等变换公式(2) 的性质和图像变化等基础知识 主干知识:1任意角的三角函数(1)设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin y,cos x,tan .(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦2诱导公式 和3.同角三角函数基本

3、关系式sin2cos21,tan (cos 0)4正弦、余弦、正切函数的性质定义域 值域 图像 周期性单调区间 对称中心 对称轴 最值考点分类题型一三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例题1、如图在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角、,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为、.(1)求tan()的值;(2)求2的值分析 根据任意角三角函数的定义cos 不难得到cos、cos的值,利用同角三角函数可求sin、sin、tan、tan的值,进而利用和角公式求tan()的值注意到第(2)问相当于“给值求角”问题,除注意到“角的变换”:2()外,还应注意该类问

4、题求解的一般程序解(1)由已知条件及三角函数的定义可知,cos ,cos .因为为锐角,故sin 0,从而sin .同理可得sin .因此tan 7,tan .所以tan()3.(2)tan(2)tan()1,又0,0,故020,cos0,0,|0,0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定;由图象上的关键点确定.(2)求函数的周期时,注意以下规律:相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期。例题2 (10天津)右图是函数yAsin(x)(xR)在区间,上的图象为了得到这个函数的图

5、象,只要将ysin x(xR)的图象上所有的点 ()A向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变B向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变D向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变解析由图象可知A1,T(),2.ysin(2x)(xR)图象过点(,0),sin()0,2k,kZ,2k,kZ.ysin(2x2k)sin(2x)故将函数ysin x先向左平移个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得原函数的图象答案 A例题3、已

6、知函数f(x)Asin(x)(A0,0)的图象与直线yb(0b0,|.(1)若coscossinsin0,求的值;(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数是偶函数分析:利用诱导公式化简利用和、差角公式求求f(x)的解析式利用奇偶性确定m的值解方法一(1)由coscossinsin0得coscossinsin0,即cos0.又|0,0,|)的图象上一个最高点的坐标为(,3),与之相邻的一个最低点的坐标为(,1)(1)求f(x)的表达式;(2)当x,时,求函数f(x

7、)的单调递增区间和零点.解(1)依题意得,所以T.于是2.由解得f(x)2sin(2x)1.把(,3)代入f(x)2sin(2x)1,可得sin()1,所以2k(kZ)所以2k(kZ)因为|0,0)的图象求解析式(1)A,B.(2)由函数的周期T求,.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求.3函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为yAsin(x)B的形式,进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于sin x,cos x的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解.二、三角变换与解三角形感悟高考 明确考向 (2010陕西

8、)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?解由题意知AB5(3)海里,DBA906030,DAB904545,ADB180(4530)105.在DAB中,由正弦定理,得,DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60,BC20(海里),在DBC中,由余弦定理,得CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 20021020900,CD30(海里),需要的时间t1(小时)故

9、救援船到达D点需要1小时考题分析 本题以实际问题为背景考查考生的应用意识,建模能力,综合运用正、余弦定理进行运算求解的能力本题题干较长,名词较多,需将其转化为解三角形问题易错提醒(1)将题干中的数据与三角形中的边、角对应时,易出错尤其是方位角与三角形的内角进行转换时,易出错(2)正弦定理、余弦定理的应用条件把握不准,易用错定理(3)运算易出错主干知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2s

10、in22cos2112sin2.(3)tan 2.3三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形:a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C.sin A,sin B,sin C.abcsin Asin Bsin C.5余弦定理a2b2c22bccos A,b2a2c22accos B,c2a2b22abcos C.推论:cos A,cos B,cos C.变形:b2c2a22bccos A,a2c2b22accos B,a2b2c22abcos C.6面

11、积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.7解三角形(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解(4)已知三边,利用余弦定理求解热点分类突破题型一三角变换及求值例1、(1)已知0,且cos(),sin(),求cos()的值;(2)已知,(0,),且tan(),tan ,求2的值注意角的组合分解(1)()();(2)(),2()(3) 解(1)0,0,0,020,02.tan 0,20.2.总结提高 (1)注意角的变换,()();(2)先由tan tan(),求出tan 的

12、值,再求tan 2的值,这样能缩小角2的取值范围;(3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系,整体运用条件中角的函数值可使问题简化例题2 已知(,),且sincos.(1)求cos 的值;(2)若sin(),(,),求cos 的值解(1)sincos,两边平方得12sincos,sin .(,),.cos .(2)(,),(,)又sin(),cos(),cos cos()cos cos()sin sin()().题型二正、余弦定理的应用例1、已知ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2Asin2C)(ab)sin B.(1)求角C;(2)试求ABC的面积S的最大值分析:题设中的条件

13、等式是ABC中角、边及外接圆半径R的混合关系式,因此,可以利用正、余弦定理将其统一为一种元素(边或角)解(1)由2R(sin2Asin2C)(ab)sin B,两边同乘以2R,得(2Rsin A)2(2Rsin C)2(ab)2Rsin B,根据正弦定理,得a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,a2c2(ab)b,即a2b2c2ab.再由余弦定理,得cos C,又0C,C.(2)C,AB.Sabsin C(2Rsin A)(2Rsin B)R2sin Asin BR2cos(AB)cos(AB)R2cos(AB)0A,0B,AB,当且仅当AB0,即AB时,cos(AB)1,S取

14、到最大值R2.总结提高 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用本例中将三角形面积S表示为cos(AB)的形式,利用三角函数的知识求解是关键例题2 (2010辽宁)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小;(2)求sin Bsin C的最大值解(1)由已知,根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A,所以cos A,又0A0,0),x0,4的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线

15、段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定MNP120.(1)求A,的值和M,P两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?思维启迪 (1)结合图形,联想y=A sin x的性质求A、的值确定M、P的坐标求两点间的距离(2)可考虑以PMN的大小为设计标准,即确定为何值时,折线段赛道MNP最长或考虑MN与NP的关系为设计标准解方法一(1)依题意,有A2,3,又T,.y2sinx.当x4时, y2sin3,M(4,3),又P(8,0),MP5.(2)在MNP中,MNP120,MP5.设PMN,则060.由正弦定理得,NPsin ,MNsin(60),NPMNsin sin(60)sin

16、(60)0b,则有一解;若ab,则无解(2)当A为锐角时,如下表:absin Aabsin Absin AaBCabcsin Asin Bsin C.(3)abcos Cccos B.5在ABC中,三边分别为a,b,c(abc2,则ABC为锐角三角形(2)若a2b2c2,则ABC为直角三角形(3)若a2b2c2,则ABC为钝角三角形. 三、平面向量感悟高考 明确考向(2010天津)如图,在ABC中,ADAB,解析设BDa,则BCa,作CEBA交BA的延长线于E,可知DACACE,在RtABD中,sin B.在RtBEC中,CEBCsin Ba,cos DACcos ACE.ADAC.另解:因为

17、AB垂直AD,所以选取向量为平面基底向量,用它们表示其它向量.所以考题分析 本题考查平面向量表示、平面向量的基本定理、线性运算、平面向量的数量积题目为中档题难度主干知识梳理1向量的概念(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k,则a(1,k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影:|b|cosa,b叫做向量b在向量a方向上的投影2向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础,应熟练掌握其运算规律(2)平面向量的数量积的

18、结果是实数,而不是向量要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异,平面向量的数量积不满足结合律与消去律ab的运算结果不仅与a,b的长度有关,而且也与a,b的夹角有关,即ab|a|b|cosa,b3两非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab ab x1y2x2y10;ab ab0x1x2y1y20.热点分类突破题型一平面向量的数量积及应用例1 已知|a|4,| b |3,(2 a3 b)(2 ab)61.(1)求a与b的夹角; (2)求| ab |; 求ABC的面积.分析探究(1)应用向量数量积的变形公式求解,即cosa,b;(2)应用公式| ab |即可求解;

19、(3)应用公式S| a | b |sina,b求解,关键是求sina,b的值解(1)由(2a3 b)(2 ab)61,得4| a |24 ab3| b |261,| a |4,| b |3,代入上式得ab=6,cos .又0180,120.(2)| ab|2(ab)2| a |22 ab| b |2422(6)3213,| ab |.探究提高 (1)准确利用两向量的夹角公式cosa,b及向量模的公式|a|.(2)在涉及数量积时,向量运算应注意aa0,未必有a0或b0;| ab| a |b|.例题2 在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,且 (1)判断ABC的形状;(2)若,求边c的值.

20、题型二有关向量的平行、垂直问题例1 已知向量a(sin x,cos x),b(cos x,cos x)且b0,定义函数f(x)2ab1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若ab,求tan x的值;(3)若ab,求x的最小正值思维启迪(1)根据已知求f(x)的解析式,再由三角函数的单调性求f(x)的单调递增区间;(2)由向量平行的充要条件求tan x的值;(3)abab0,得到关于x的三角等式,进而求出x的最小值解(1)f(x)2ab12(sin xcos xcos2x)1sin 2xcos 2x2sin(2x)由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.f(x)的单调递增区间为k,k,kZ.

21、(2)由ab,得sin xcos xcos2x0,b0,cos x0.tan x0,tan x.(3)若ab,则ab0.sin xcos xcos2x0.b0,cos x0.tan x10,即tan x.xk,kZ.当k0时,x有最小正值.探究提高 向量与三角函数结合是高考命题的一大热点,在解决有关向量的平行、垂直问题时,先利用向量的坐标运算,再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程例题2 设ABC的三个内角A、B、C所对的边长为a、b、1,已知向量ua(cos B,sin B),vb(cos A,sin A)(1)如果uv,指出ABC的形状,并说明理由;(2)求|uv|.解(1)由uv知u

22、v0,即a(cos B,sin B)b(cos A,sin A)0,cos Bcos Asin Bsin A0,cos(AB)0,又0AB0为锐角或零角ab090ab 0为钝角或平角3.利用数量积求向量的长度(或模)条件计算公式a(x,y)| a |A(x1,y1),B(x2,y2)练习1已知a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),其中0.(1)求证:ab与ab互相垂直;(2)若kab与kab(k0)的长度相等,求.(1)证明因为(ab)(ab)aaabbabbaabb|a|2|b|2110,所以ab与ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ,ksin sin ),kab(k

23、cos cos ,ksin sin ),所以|kab|,|kab|,因为|kab|kab|,所以k22kcos()1k22kcos()1,有2kcos()2kcos(),因为k0,故cos()0.又因为0,0,所以.练习2已知向量m(sin,1),n(cos,cos2)(1)若mn1,求cos(x)的值;(2)记f(x)mn,在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2ac)cos Bbcos C,求函数f(A)的取值范围解(1)mnsincoscos2sincossin().又mn1,sin().cos(x)12sin2(),cos(x)cos(x).(2)(2ac)cos Bbcos C,由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C,2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC,sin(BC)sin A,且sin A0.cos B,又0B,B.0A.,sin()1.又f(x)mnsin(),f(A)sin().故函数f(A)的取值范围是(1,)46

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