【创新设计】2014届高考数学一轮总复习-第三篇-第1讲-导数的概念与运算-理-湘教版.doc

第三篇
导数及其应用
第1讲 导数的概念及运算

A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 (　　)．
A. B. C. D．1
解析　y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，y＝－2x＋2与x轴的交点B(1,0)．所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.
答案　A
2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有 (　　)．
A．af(b)0)，F′(x)＝，由条件知F′(x)<0，∴函数F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴<，即bf(a)0)，则f(2)的最小值为
(　　)．
A．12 B．12＋8a＋
C．8＋8a＋ D．16
解析　f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，则g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得00时，f′(x)>0，g′(x)>0则x<0时 (　　)．
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
解析　依题意得，函数f′(x)、g′(x)分别是偶函数、奇函数，当x<0时，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，选B.
答案　B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·新课标全国)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
解析　∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案　y＝4x－3
6．曲线y＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为________．
解析　依题意得y′＝3x2＋1，设点P(x0，y0)，则有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1，将x0的值代入曲线方程得y0＝－4或y0＝0，从而点P的坐标是(1,0)或(－1，－4)．
答案　(1,0)或(－1，－4)
三、解答题(共25分)
7．(12分)求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；　(2)y＝ln (x＋)；
(3)y＝；　(4)y＝2xsin(2x＋5)．
解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.
(2)y′＝·＝.
(3)∵y＝＝1＋∴y′＝.
(4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．
8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一　设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26.)
法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)．
A．2 B. C. D．－2
解析　y′＝＝，点(3,2)处切线斜率k＝－，∵切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，∴ a＝－2.
答案　D

2．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 (　　)．
A．h(1)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．
解析　设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，
切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②
将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，
解之得：t＝0或t＝.
分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，
由题意得它们互为相反数，故a＝.
答案　
4．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y＝2＋(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．
解析　∵y＝2＋(1≤t≤12)，
∴y′＝′＝2′＋′
＝＝.
由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y′|t＝10＝＝3.
因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月．
答案　3
三、解答题(共25分)
5．(12分 )设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
6．(13分)(2012·辽宁)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b，为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当00时，2