人教版八年级数学下册第17章-勾股定理-单元提升题(含答案).doc

勾股定理 单元提升题
一．选择题
1．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A． B． C． D．7
2．如图，图中的小方格都是正方形，△ABC的三边a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
3．已知△ABC的三边长分别为3、4、5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．
A．4 B．5 C．6 D．7
4．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
5．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（　　）

A． +1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
6．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（　　）
A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10
7．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12，那么图中正方形E的面积为（　　）

A．144 B．147 C．49 D．148
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　）
A．3 B．4 C．15 D．7.2
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）

A．6 B． C． D．
10．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（　　）
A．21 B．15
C．6 D．以上答案都不对
11．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是：AA1⇒A1D1⇒D1C1⇒C1C⇒CB⇒BA⇒AA1⇒A1D1…，
白甲壳虫爬行的路线是：AB⇒BB1⇒B1C1⇒C1D1⇒D1A1⇒A1A⇒AB⇒BB1…，
那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　）

A．0 B．1 C． D．
12．给出下列长度的四组线段：①1，，；②3，4，5；③6，7，8；④a﹣1，a+1，4a（a＞1）．其中能构成直角三角形的有
（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④
13．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（　　）组．
A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
14．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15
15．编织一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…，则每一根这样的竹条的长度最少是（　　）

A． B． C． D．a+b
16．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝12，b＝13，c＝5
C．a＝15，b＝8，c＝17 D．a＝13，b＝14，c＝15
17．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（　　）
A．4 B．16 C． D．4或
18．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（　　）

A．（）2013 B．（）2014 C．（）2013 D．（）2014
二．填空题
19．如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6m，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是　 　cm．

20．直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是　 　cm．
21．观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　 　．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
22．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于 AC的射线AX上运动，当AP＝　 　时，才能使△ABC与△QPA全等．

23．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝　 　．

24．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为　 　cm2．

25．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为　 　秒．

26．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树　 　米才是安全的．
三．解答题

27．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：　 　．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别a、a、a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．

28．阅读材料并解答问题：
我们已经知道如图①完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．

（1）如图②是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，请根据图中意思写出所表示的代数恒等式：　 　；
（2）如图③已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b，斜边为c，现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD，且四边形EFGH也为正方形，请利用面积法推恒等式方法，推出直角三角形三边a、b、c的关系．
（3）应用（2）中结论：已知直角三角形ABC中，a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，其中直角边为a、b，斜边为c，求三角形斜边c．
29．将火柴盒ABCD推倒后，如图A所示，AB＝CE，BC＝EF，∠B＝E＝90°．

①连接AC、CF，并擦去AD、DC、GF，则得图B，根据图B说明：AC＝CF；
②在①说明过程中，你还能得到哪些些结论，把它写下来，写满3个正确结论得2分，每多写一个正确结论加1分，不必说明理由；
③在图B中，请你连接AF，则四边形ACEF为梯形．设Rt△ABC的三边长如图所示，请你用两种不同的方法将梯形ABEF的面积S，用a、b、c表示出来；
④根据③的结论，你猜想Rt△ABC的三边长a、b、c之间有何数量关系？
30．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
31．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

32．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
12+1＝2，S1＝， +1＝3，S2＝， +1＝4，S3＝
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．
（2）推算出OA10的长．
（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．

33．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9﹣1）、（9+1）与（25﹣1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．
34．在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使三角形ABC满足如下条件．（仅用直尺作图）
（1）在网格①中作一个等腰三角形ABC；
（2）在网格②中作一个直角三角形ABC，使两直角边的长为无理数．

35．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．

操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　；△ABC的面积为　 　．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
36．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC和AB的长；
（2）证明：∠ACB＝90°．

37．[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．

38．如图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、EF，这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？说明理由．

39．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
40．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

参考答案
一．选择题
1．解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°
又∠DAB+∠ABD＝90°
∴∠BAD＝∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE＝AD＝3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC＝＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝×＝2；
故选：A．

2．解：根据已知格点三角形，由勾股定理得：
∵a2＝22+32＝13，
∴a＝，
∵b2＝1+42＝17，
∴b＝，
∵c2＝22+22＝8，
∴c＝，
∵＜＜，
∴c＜a＜b．
故选：B．
3．解：如图所示：BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
当AC1＝AC＝4，BC＝BC2＝3，BC＝CC3＝3，BC＝CC4＝3，C5A＝C5B都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．

4．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
5．解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AC＝，
∵点A表示的数是﹣1，
∴点C表示的数是﹣1．
故选：B．
6．解：A、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故选项错误；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项错误；
C、32+52≠72，不能构成直角三角形，故选项正确；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
7．解：根据勾股定理的几何意义，可知
SE＝SF+SG
＝SA+SB+SC+SD
＝12+16+9+12
＝49，
故选：C．

8．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，
∵BC＝12，AC＝9，
∴AB＝＝15，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h，
∴h＝＝7.2，
故选：D．
9．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，
解得，CD＝，
故选：C．
10．解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝15；
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD＝6．
当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21；
当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9．则BC的长是21或9．
故选：D．

11．解：连接CD1，
因为2008÷6＝334…4，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止的点是C和D1，
由于∠CDD1＝90°，
所以根据勾股定理：CD1＝＝．
故选：C．

12．解：∵①12+2＝2，故能构成直角三角形；
②42+32＝52，故能构成直角三角形；
③62+72≠82，故不能构成直角三角形；
④（a﹣1）2+（a+1）2≠（4a）2，故不能构成直角三角形．
∴能构成直角三角形的是①②．
故选：C．
13．解：A、132≠122+62，错误；
B、122≠82+62，错误；
C、132＝122+52，正确；
D．82≠52+22，错误．
故选：C．
14．解：b2﹣c2＝a2
则b2＝a2+c2
△ABC是直角三角形；
a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
a2+b2＝c2，
△ABC是直角三角形；
∠C＝∠A﹣∠B，
则∠B＝∠A+∠C，
∠B＝90°，
△ABC是直角三角形；

∠A：∠B：∠C＝9：12：15，
设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，
则9x+12x+15x＝180°，
解得，x＝5°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，
△ABC不是直角三角形；
故选：D．
15．解：根据题意，得
圆柱的侧面展开图，矩形的长是a，宽是b．
根据勾股定理，得每一根这样的竹条的长度最少是．
故选：A．
16．解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
17．解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；
当5是斜边长时，第三边长为：＝4．
故选：D．
18．解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝S1＝2，S3＝S2＝1，S4＝S3＝，…，
∴Sn＝．
当n＝2016时，S2016＝＝．
故选：C．

二．填空题（共8小题）
19．解：6×2＝12（cm），
由勾股定理得＝20（cm），
则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是28﹣20＝8（cm）．
故答案为8．
20．解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，
则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．
当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，
则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．
故答案为：5或．
21．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，
②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，
③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…，
∴第n组勾股数为：
a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
∴第⑤组勾股数为a＝2×5+1＝11，b＝2×5×（5+1）＝60，c＝2×5×（5+1）+1＝61，即11，60，61．
故答案为：11，60，61．
22．解：当AP＝5时，Rt△ABC≌Rt△QPA，
理由是：∵∠C＝90°，AQ⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
当AP＝5＝BC时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
当AP＝AC＝10，AQ＝BC＝5时，△ABC≌△PQA，
故答案为：5或10．

23．解：由勾股定理得：OP4＝＝，
∵OP1＝；得OP2＝；
依此类推可得OPn＝，
∴OP2012＝，
故答案为：．
24．解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形1，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形3，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形1＝122＝144．
故答案是144．

25．解：如图所示：

∵Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝，
∵ED'是AC的中垂线，
∴CE＝5，
连接CD'，
∴CD'＝AD'，
在Rt△BCD'中，CD'2＝BD'2+BC2，
即AD'2＝62+（8﹣AD'）2，
解得：AD'＝，
∴当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒，
故答案为：
26．解：如图，

BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4米．
即小孩至少离开这棵树4米才是安全的．
故答案为：4．
三．解答题（共14小题）
27．解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3
＝9﹣1﹣﹣3
＝9﹣5.5
＝3.5；
故答案为：3.5；

（2）△ABC如图所示，
△ABC的面积＝2a•4a﹣×2a•a﹣×2a•2a﹣×4a•a
＝8a2﹣a2﹣2a2﹣2a2
＝3a2．

28．解：（1）因为长方形面积＝（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为＝2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；

（2）因为正方形的面积＝c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，
所以直角三角形的三边关系为：a2+b2＝c2．

（3）∵a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，
∴a+b＝14，
∴a＝8，b＝6，
∴c2＝82+62＝100，
∵c＞0，
∴c＝10．
29．解：①∵AB＝CE，BC＝EF，∠B＝E＝90°，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴AC＝CF（全等三角形的对应边相等）；

②由①还可得出∠A＝∠ECF，∠ACB＝∠F，∠A+∠F＝90°…

③根据梯形的面积公式，得S梯形ABEF＝（a+b）（a+b）＝a2+b2+ab，
根据三角形的面积公式，得S梯形ABEF＝ab+abc2＝ab+c2；

④由③得
S梯形ABEF＝ab+c2＝a2+b2+ab，
∴a2+b2＝c2．
30．解：（1）如图①所示：

（2）如图②③所示．

31．解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．

因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC
所以CD＝＝＝240米．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
32．解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；

（2）∵OAn2＝n，
∴OA10＝．

（3）S+S+S+…+S
＝+++…
＝
＝＝．
33．解：（1）∵（9﹣1）＝4，（9+1）＝5；（25﹣1）＝12，（25+1）＝13；
∴7，24，25的股的算式为（49﹣1）＝（72﹣1）
弦的算式为（49+1）＝（72+1）；（4分）

（2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n2﹣1），（n2+1）．（7分）
例如关系式①：弦﹣股＝1；关系式②：勾2+股2＝弦2（9分）
证明关系式①：弦﹣股＝（n2+1）﹣（n2﹣1）＝ [（n2+1）﹣（n2﹣1）]＝1
或证明关系式②：勾2+股2＝n2+[（n2﹣1）]2＝n4+n2+＝（n2+1）2＝弦2∴猜想得证；（12分）

（3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：，．（14分）
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，（n2﹣1），（n2+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：n+2， [（n+2）2﹣1]， [（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+A2＝n+（n2﹣1）+（n+2）＝（n2+4n+3）＝ [（n+2）2﹣1]＝B2．
或B1+C2＝B2+C1（证略）等等．
34．解：（1）∵＝5，AB＝5，
∴作AC＝5，或BC＝5，
△ABC如图1所示：

（2）∵＝，＝2，
（）2+（2）2＝5+20＝25＝AB2，
∴画出△ABC和△ABC1是直角三角形，
如图2所示．

35．解：（1）AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1＝，
故答案为：5；；；；
（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1＝5．

36．（1）解：∵CD⊥AB于D，BC＝15，DB＝9，
∴CD＝＝＝12．
在Rt△ACD中，
∵AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
∴AB＝AD+BD＝169＝25．

（2）∵AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，
∴△ABC是Rt△，
∴∠ACB＝90°．
37．定理表述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：∵S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE，

＝×2+，
又∵S四边形ABCD＝＝，
∴＝×2+，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
38．解；∵如图是由36个边长为1的小正方形拼成的，
∴AB＝＝，
同理BC＝5，CD＝，
EF＝＝．
∵BC＝5．∴BC是有理数．
∵AB，EF和CD都是无限不循环小数，
∴是无理数．
39．解：（1）如图：

（2）证明：∵大正方形的面积表示为：c2
又可以表示为： ab×4+（b﹣a）2
∴c2＝ab×4+（b﹣a）2，c2＝2ab+b2﹣2ab+a2，
∴c2＝a2+b2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
40．（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10﹣t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED＝EA，
所以DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
因为BM＝t，BF＝7，
所以FM＝t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．