直线的一般式方程.ppt

3.2.3 直线的一般式方程,我们共学习了哪几种直线方程的形式?,点斜式,斜截式,两点式,截距式,Ax+By+C=0(A,B不同时为0）,我们把关于x,y的二元一次方程,叫做直线的一般式方程，简称一般式.,一般式适用于任意一条直线.,探究1：直线的一般式方程,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，上述四种直线方程，能否写成如Ax+By+C=0（,A,B,不同时为,0,）的统一形式？,点斜式：,探究2：一般式方程与其他形式方程的转化,斜截式：,y=kx+b kx-y+b=0,两点式：,（,y,1,-y,2,）,x+(x,2,-x,1,)y+x,1,y,2,-x,2,y,10,截距式：,bx+ay-ab=0,例1 已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.,解：,经过点A(6，-4),斜率为 的直线的点斜式,方程为,化成一般式，得4x+3y-12=0.,特别：,对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列.,例2 把直线,l,的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线,l,的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.,解：,将原方程化成斜截式得,因此，直线,l,的斜率 ，它在y轴上的截距是3，,在直线,l,的方程,x-2y+6=0,中，,x,y,O,-6,3,令y=0，可得 x=-6，即直线,l,在x轴上的截距是-6.,例3 已知直线,l,1,：ax+(a+1)y-a=0和,l,2,：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若,l,1,/,l,2,，求a的值.,【,总结,】,利用一般式解决平行与垂直问题策略,已知直线,l,1,:A,1,x+B,1,y+C,1,=0,l,2,:A,2,x+B,2,y+C,2,=0.,(1),l,1,l,2,A,1,B,2,-A,2,B,1,=0且B,1,C,2,-B,2,C,1,0,(或A,1,C,2,-A,2,C,1,0).,(2),l,1,l,2,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0.,(2)可利用如下待定系数法:,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C,1,=0,再由直线所过的点确定C,1,;,与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为,Bx-Ay+C,2,=0,再由直线所过的点确定C,2,.,1.若直线,l,在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，,则直线,l,的点斜式方程是_.,直线,l,的斜截式方程是_.,直线,l,的一般式方程是_.,y-0=x+4,y=x+4,x-y+4=0,解：,(1)x+2y-4=0.,2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：,(2)y-2=0.,(3)2x-y-3=0.,(4)x+y-1=0.,y,x,O,5,x,y,O,-5,43.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.,（-2,1）,x,O,y,x,O,y,例,.直线,l,的方程为Ax+By+C=0,若,l,过原点和第二、四象限,则(),A.C=0,B0 B.C=0,B0,A0,C.C=0,AB0,【解析】,选D.直线过原点,则C=0,又过第二、四象限,所以斜率为负值,即,所以C=0,AB0.,4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和,Q(2，2)，若直线,l,:x+my+m=0与线段PQ有交点，,求实数m的取值范围.,解：,如图所示，直线,l,:x+my+m=0过定点,A(0，-1)，当m0时，,解得 或 当m=0时，直线,l,的方程为x=0与线段PQ有交点，所以，实数m的取值范围为,【,例,】,若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0,和(5a-2)x+(a+4)y-7=0互相垂直,则a的值为,【解析】,由题意,(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.,答案:,0或1,【,例,】,当a为何值时,直线2x+3ay+1=0与,直线(a-2)x-ay-1=0平行？,【解析】,方法一：当a=0时,两直线重合,不合题意.,当a0时,若两直线平行,则有,解得 经检验 时两直线平行.,方法二：若两直线平行,则有2(-a)-3a(a-2)=0,解得a=0或,经检验 时两直线平行.,练习,.使直线ax+2y3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的a的值为_.,【解析】,(1)若a-1=0,即a=1时，直线为：x+2y+3=0和直线3x=-6,此时两直线不平行，故a=1时两直线不平行.,(2)当a1时，由题意，解得a=3.,答案：,3,练习,.已知两直线,l,1,:x+my+6=0,l,2,:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线,（1）,l,1,l,2,（2）,l,1,l,2,?,解,.方法一：当m=0时,l,1,：x+6=0,l,2,：2x-3y=0两直线既不平行,也不垂直；当m0时,l,1,：,y=,l,2,：,若,l,1,l,2,则 解得m=-1；,若,l,1,l,2,则 解得,方法二：,l,1,l,2,等价于13-m(m-2)=0且12m-6(m-2)0,解,得m=-1；,l,1,l,2,等价于1(m-2)+3m=0,解得,直线方程的综合应用,1.设直线,l,的方程为(a-1)x+y-2-a=0(aR).若直线,l,不过第三象限,则a的取值范围为,.,【解析】,1.把直线,l,化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线,l,不,过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截,距大于等于零.即,解得a1.所以a的取值范围为1,+).,答案：,1,+),例,.若方程(m,2,-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线,(1)求实数m的范围2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.,【解析】,(1)由 解得m=2,若方程表示直线，则m,2,-3m+2与m-2不能同时为0，,故m2.,(2)由 解得m=0.,例,.如果直线,l,经过点P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积为S.若这样的直线,l,有且只有2条,求S的取值范围.,2.设直线,l,的方程为 则 即,则a =2S,得a,2,-2Sa+4S=0或a,2,+2Sa-4S=0,后一个方程0恒成立,肯定有两个不相等的实数根,若这样,的直线,l,有且只有2条,则前一个方程一定无实数根,=(2S),2,-44S0,解得0S4.,1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为,0,）,2.直线方程的一般式与特殊式的互化.,3.两条直线平行与垂直的判定.,