直线的一般式方程(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,直线的一般式方程,1,一、问题导入,2,二、直线的一般式方程,1.,我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x,y,的二元一次方程,ax,+,by,+,c,=0,表示；,2.,每一个关于,x,y,的二元一次方程,ax,+,by,+,c,=0,（,a,b,不同时为,0,）是否都表示一条直线呢？,(1),当,b,0,时，方程可化为,，这是过,点 ，,以,(,a,b,),为一个法向量的直线,。,(2),当,b,=0,时，方程为,ax,+,c,=0,，由于,a,0,，方程化为,表示过点,且垂直于,x,轴的直线。,一般地，方程,ax,+,by,+,c,=0(,a,2,+,b,2,0),叫做直线的,一般式方程。,3,反思与点评,直线方程可以用二元一次方程,ax,+,by,+,c,=0,(,a,2,+,b,2,0,),表示。,2.,直线,ax,+,by,+,c,=0(,a,2,+,b,2,0,),的,一个法向量：,(,a,b,),；方向向量：,(,b,a,),；,4,例,1.,已知直线,l,：,2,x,3,y,6=0,，求直线,l,的点方向,式方程和点法向式方程。,解：,在,2,x,+3,y,6=0,中，令,x,=0,，得,y,=2,，,直线过点,(0,2).,直线,l,的法向量为,(3,2),直线,l,的方向向量为,(2,3),直线,l,的点法向式方程为,2,x,+3(,y,2)=0.,直线,l,的点方向向式方程为,三、应用举例,5,反思与点评,由一般式方程化为点法向式方程和点方向式方程时，取的点是不唯一的，一般取与坐标轴的交点较简便。,6,例,2,（,1,）求过点,A,(,2,5),且平行于直线,l,:4,x,3,y,9=0,的直线方程；,解,法,一：,直线的方向向量为,(3,4),，直线的点方向式方程为,解,法二,：,直线的法向量为,(4,3),，,直线的法向式方程为,4(,x,+2),3(,y,5)=0.,解,法三,：,设与,l,:4,x,3,y,9=0,平行的直线方程为,4,x,3,y,+,c,=0,，,又直线过点,A,(,2,5),，,故,4(,2),3,5+,c,=0,，,c,=23,，,所以直线的方程是,4x,3y+23=0,。,7,（,2,）求过点,A,(,2,5),且垂直于直线,l,:4,x,3,y,9=0,的直线方程。,解,法,一：,直线的方向向量为,(4,3),，,直线的点方向式方程为,解,法二,：,直线的法向量为,(3,4),，,直线的法向式方程为,3(,x,+2)+4(,y,5)=0.,解,法三,：,设与,l,:4,x,3,y,9=0,垂直,的直线方程为,3,x,+4,y,+,c,=0,，,又直线过点,A,(,2,5),，,故,3(,2),+4,5+,c,=0,，,c,=,14,，,所以直线的方程是,3,x,+4,y,14=0,。,8,反思与点评,一般地，与直线,ax,+,by,+,c,=0,平行的直线可设为,ax,+,by,+,c,=0,(,c,c,),；而与直线,ax,+,by,+,c,=0,垂直的直线可设为,bx,ay,+,c,=0,。,这样可以大大减少运算量。,9,四、课堂练习,1.,若直线,(2,m,),x,+,my,+3=0的法向量恰为直线,x,my,3=0,的方向向量，求实数,m,的值。,解：由题意两直线垂直，,则两直线的法向量垂直，,故,(2,m,)1+,m,(,m,)=0,，,解得,m,=1,或,m,=2.,10,2,已知点,P,(2,1),及直线,l,:3,x,+2,y,5=0,，求：,（,1,）过点,P,且与,l,平行的直线方程；,（,2,）过点,P,且与,l,垂直的直线方程。,解：（,1,）设直线,l,方程为,3,x,+2,y,+,c,=0,，点,P,(2,1),代入，得,c,=,4,，直线方程为,3,x,+2,y,4=0,。,（,2,）设直线,l,方程为,2,x,3,y,+,c,=0,，点,P,(2,1),代入，得,c,=,7,，,直线,l,的方程为,2,x,3,y,7=0,。,11,3,正方形,ABCD,的顶点,A,的坐标为,(,4,0),，它的中心,M,的坐标为,(0,3),，求正方形两条对角线,AC,、,BD,所在的直线方程。,解：,，直线,AC,的点方向式方程为,即,3,x,4,y,+12=0,，,BD,AC,，故设,BD,所在直线方程为,4,x,+3,y,+,c,=0,，将点,M,(0,3),代入，得,c,=,9,，,直线,BD,方程为,4,x,+3,y,9=0,。,12,例,3,求与直线,m,:,x,y,+1=0,关于原点对称的,直线,l,的方程。,O x,y,1,分析：直线,m,上的任意一点关于原点的对称点,都在直线,l,上。,解法一：直线,m,上取两点,(,1,0),和,(0,1),，,关于原点的对称点为,(,1,0),和,(0,1),，,故所求直线,l,的方程为,x,y,1=0,解法二：因为直线,m,与直线,l,平行，,故设直线,l,的方程为,x,y,+,c,=0,又直线,l,过点,(1,0),，,故所求直线,l,的方程为,x,y,1=0,。,13,五、课堂小结,1.,直线的一般形式,方程,为,ax,+,by,+,c,=0,(,a,、,b,不同时为,0),；,2.,一般地，直线,ax,+,by,+,c,=0(,a,2,+,b,2,0,),的,法向量,=(,a,b,),；方向向量,=(,b,a,),，,若,b,0,，则,k,=,。,14,六、作业布置,1,必做题：习题,11.2A,组,3,7,8,9,10,11,12.,2,思考题：自己提出一个与直线方程有关的问题，并加以解决。,3,选做题：已知直线,l,的方程,(,a,+2),x,+(1,2,a,),y,+4,3,a,=0(,a,R),（,1,）求证：不论,a,取何值，直线,l,恒过定点；,（,2,）记（,1,）中的定点为,P,，若,l,OP,(,O,为原点,),，,求实数,a,的值。,15,