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探索与表达规律
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.一列数a1,a2,a3,…,其中a1=,an=(n为不小于2的整数),则a4的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是(　　)

A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31
3.如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是(　　)

A.54 B.110 C.19 D.109
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.观察下列一组数:,,,,,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是　　　　.
5.观察下列等式:=1-,+=1-,
++=1-,…请根据上面的规律计算:
+++…+=　　　　.
6.如图是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,第n个图中的阴影部分小正方形的个数是　　　　.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图是用棋子摆成的“T”字图案.

从图案中可以看出,第一个“T”字图案需要5枚棋子,第二个“T”字图案需要8枚棋子,第三个“T”字图案需要11枚棋子.
(1)照此规律,摆成第四个图案需要几枚棋子?
(2)摆成第n个图案需要几枚棋子?
(3)摆成第2014个图案需要几枚棋子?
8.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…
它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?
(2)它的第100个数是多少?
(3)2013是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?

【拓展延伸】
9.(10分)观察下列等式:
12×231=132×21,
13×341=143×31,
23×352=253×32,
34×473=374×43,
62×286=682×26,
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:
①52×　　　　=　　　　×25;
②　　　　×396=693×　　　　.
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).

答案解析
1.【解析】选A.因为a1=,an=,
所以a2==,
同理a3==,a4==.
2.【解析】选C.因为斜线把正方形分成的两部分点数计算为:第1个图形是4=1+(1+2),第2个图形是9=(1+2)+(1+2+3),…,所以根据此规律得36=(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6)=15+21,故答案为C.
3.【解析】选D.第①个图形中有1个平行四边形;第②个图形中有1+4=5个平行四边形;第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形;第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形;…第n个图形中有1+2(2+3+4+…+n)个平行四边形;所以第⑩个图形中有1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109个平行四边形.
4.【解析】因为分子的规律是2k,分母的规律是2k+1,所以第k个数就应该是:.
答案：
5.【解析】根据规律得右边结果应有两项,即1-.
答案：1-
6.【解析】根据图形可知:第一个图形中阴影部分小正方形个数为4=2+2=1×2+2,第二个图形中阴影部分小正方形个数为8=6+2=2×3+2,第三个图形中阴影部分小正方形个数为14=12+2=3×4+2,…
所以第n个图形中阴影部分小正方形个数为n(n+1)+2.
答案：n(n+1)+2
7.【解析】(1)9+5=14(枚).
故摆成第四个图案需要14枚棋子.
(2)因为第①个图案有5枚棋子,
第②个图案有(5+3×1)枚棋子,
第③个图案有(5+3×2)枚棋子,
依此规律可得第n个图案需5+3×(n-1)
=5+3n-3=(3n+2)枚棋子.
(3)3×2014+2=6044(枚),
即第2014个图案需6044枚棋子.
8.【解析】(1)它的每一项可以用式子(-1)n+1n(n是正整数)表示.
(2)它的第100个数是(-1)100+1×100=-100.
(3)当n=2013时,(-1)2013+1×2013=2013,
所以2013是其中的第2013个数.
9.【解析】(1)①因为5+2=7,
所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,
所以52×275=572×25.
②因为左边的三位数是396,
所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,
63×396=693×36.
(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,
所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,
右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,
所以一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).