【创新设计】2011届高三数学一轮复习-3-4-第4课时--函数y=Asin(ωx-+-φ)-的图象、三角函数的应用随堂训.doc

第4课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、
三角函数的应用

一、填空题
1．(2010·东台中学高三诊断性试卷)若函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条
对称轴的距离是4π，则ω的值为________．
答案：

2. 电流强度I(安培)随时间t变化的函数I=Asin(ωt＋)的图象如上图所示，则当t=秒
时的电流强度是　　　　.
解析：依题意：A=10，，∴，∴ω=100π，
∴I=10sin(100πt+)．
当t=时，得I=10sin=0.
答案：0安培
3．(江苏省高考名校信息优化卷)已知x∈[0，m]时，函数y＝sin的值域是
[1，]，那么实数m的取值范围是________．

解析：如图，函数y=的图象与直线y=1相交，而x∈[0，m]时，函数
y=的值域是，故m∈.
答案：
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象
上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是
________．
解析：y＝sin xy＝siny＝sin.
答案：y＝sin，x∈R
5．若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的对称中心为
________．
解析：∵f(x)＝sin ax＋cos ax＝sin，∴＝1，∴a＝2π.
∴f(x)＝sin，
∴对称中心为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．(江苏省高考名校联考信息优化卷)

函数y=A(sinωx+)(ω>0，x∈R)的部分图象如图所示，则函数的表达式为　　　　.
答案：y=
7．(江苏省高考名校联考信息优化卷)函数f(x)＝A(sin 2ωxcos ＋2cos2ωx·sin )－Asin
的图象在y轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)
为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q.则函数f(x)
的表达式为________．
答案：f(x)＝2sin(x∈R)
二、解答题
8．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知向量a＝(sin x－cos x，cos x)，
b＝(sin x,3cos x－sin x)(x∈R)，且函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈时，求f(x)的最小值；
(3)设有不相等的实数x1，x2∈(0，π)，且f(x1)＝f(x2)＝1，求f(x1＋x2)的值．
解：因为向量a＝(sin x－cos x，cos x)，b＝(sin x,3cos x－sin x)(x∈R)，且函数f(x)＝a·b，
所以f(x)＝sin2x－sin xcos x＋3cos2x－sin xcos x(x∈R)，
即f(x)＝－sin 2x＋＝2＋cos 2x－sin 2x＝cos＋2.
(1)T＝＝π.
(2)由x∈，得－≤2x＋≤π，所以cos(2x＋)∈.
故当x＝时，f(x)min＝1.
(3)因为x∈(0，π)，所以2x＋∈.
又f(x)＝1，得cos＝－，∴2x＋＝π±.
又由题意，得x1＝，x2＝或x1＝，x2＝，∴x1＋x2＝π.
故f(x1＋x2)＝f＝cos＋2＝3.

9．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量m＝(sin ωx，－cos ωx)，
n＝(ω>0)，若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原
来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间．
解：(1)由题意得f(x)＝m·n＝sin2ωx－cos ωxcos(ωx＋)＝sin2ωx＋cos ωxsin ωx
＝＋sin 2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝sin＋.
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以＝π，解得ω＝1.
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝f 的图象，再将所得 图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝f ，即函数y＝g(x) 的图象．
由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f ＝sin＋＝sin ＋.
令2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．
因此函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝－cos(2ωx＋)(A>0，ω>0)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相
邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．计算f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)．
解：∵y＝－cos(2ωx＋)，且y＝f(x)的最大值为2，A>0，∴＋＝2，A＝2.
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，∴()＝2ω＝.
∴f(x)＝1－cos(x＋)＝1＋sin x.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4.
又∵y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.

1． 已知函数y＝Asin(ωx＋)＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，若A>0，
ω>0，则函数解析式为____________．
解析：依题意知，∴.又∵T＝，∴ω＝＝＝4，
∴y＝2sin(4x＋)＋2.
答案：y＝2sin＋2
2．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x的图象经过点和.
(1)求实数a和b的值；
(2)当x为何值时，f(x)取得最大值．
解：(1)依题意，有⇒a＝1，b＝－.
(2)由(1)知：f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
因此，当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.

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