1、一、填空题（1-7每空2%*10，8-9每空3%*10）
1、数值的近似值，若满足（），则称有4位有效数字.
2、已知,则范数=5，=(28).
3、解非线性方程的牛顿迭代法在3重根附近是（线性）收敛的。
4、若，则其10阶差商10
5、求解常微分方程初值问题的梯形公式为 或 。
6、若系数矩阵是（严格对角占优）阵，则求解线性方程组的雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法都收敛。
7、复化抛物线公式的收敛阶是（4）。
8、给定矩阵，则其雅可比迭代矩阵为（），高斯－赛德尔迭代矩阵为（）。
9、利用Romberg序列，近似计算，若，，则=(0).
二、（10分）使用LU分
2、解求解方程
解：
LU分解6分，L和U各3分，个别数据错误酌情扣分
每个解1分
三、（10分）已知正弦函数表:
x
21。
22。
24。
25。
f(x)
0.35537
0.37641
0.40674
0.42262
用Newton插值求sin23的近似值，并估计误差。（注）
解：（1）
x
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
21
0.35537
22
0.37641
0.02104
3、
24
0.40674
0.015165
-0.0019583
25
0.42262
0.01588
0.00023833
0.000549167
每个差商1分，共6分
插值2分
其中
注意到
误差
或 误差分析2分
注实际值
（2）
x
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0.35537
0.37641
1.20550
0.40674
0.86889
-6.44574
0.42262
0.90986
0.76265
103.25727
每个差商1分，共
4、6分
插值2分
其中
注意到
误差
或 误差分析2分
注实际值
四、（10分）使用牛顿迭代法求解方程在区间上的解，要求精确到
小数点后3位。
解：
迭代公式 迭代公式2分
选择初始点需要
下面每步迭代2分（基本上仅需四次迭代）共8分
（1）取
（2）取
（3）取
五、（12分）找出合适的使求积公式
代数精度尽可能高。并给出此最高代数精确度。
解：令
令
=0
令
令
5、
令
令
若原求积公式有4次以上的代数精确度，需要
上述三个方程每个2分
由（1）得 （4）
将代入（2）（3）
得 和
即 和
所以
求解得 (1分) 所以 (1分) (2分)
即
由前面的分析求解过程知当时等式左右均相等
而时，
而
所以
在，和 时达到最高代数精确度5。
验证最高精度2分
六、（10分）找出合适的四次多项式，使得
且，。
解：（方法一）因为
所以 (2分)
又为四次多项式，所以为一次多项式，设，（1分）
则 （1分）
（1分
6、
(1分)
(1分)
解得 (2分)
所以 (1分)
（方法二）
设
则
每个方程1分
解得 a=0,b=-3,c=8,d=-5,e=1 每个系数1分
(方法3)使用基函数
其中
求得
每个基函数1分
七、(10分)取h=0.1, 用改进欧拉法求初值问题
在x=0.1, 0.2，0.3
7、处的近似值. 计算过程保留4位小数.
解：
（2分）
（2分）
（3分）
（3分）
八、（13分）用二次多项式最小二乘拟合如下数据
x
-3
-1
0
1
3
y
1.75
2.45
3.81
4.80
7.01
(1)利用正交化方法求这些结点的前三个正交多项式。
(2)利用正交多项式求出最小二乘拟合的二次多项式，并计算出其平方误差。
解：（1） （1分）
，
。 （2分）
，，。
4， 。（2分）
（2）
x
-3
-1
0
1
3
y
1.75
2.45
3.81
4.80
7.01
1
1
1
1
1
-3
-1
0
1
3
5
-3
-4
-3
5
（每个系数2分）
（1分）
平方误差=
（1分）
注:若使用分数计算
平方误差=
十
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