辽宁省名校2011年领航高考数学预测试卷(2).doc

辽宁省名校2011年领航高考数学预测试卷（2）

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设全集R，若集合，则为 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知是虚数单位，和都是实数，且，则等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3．如图，已知正方形的面积为10，向正方形
内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外
的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，
可以估计出阴影部分的面积约为（ ）
A．5.3 B．4.3
C．4.7 D．5.7
4．已知则有 （ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，所有正确命题的个数为 （ ）
① 命题“若，则且”的逆命题是真命题；
② 个位数字为零的整数能被5整除，则个位数字不是零的整数不能被5整除；
③ 若随机变量，且，则
A．0 B．1 C．2 D．3
6．点在函数的图象上，点与点关于轴对称且在直线
上，则函数在区间上 （ ）
A．既没有最大值也没有最小值 B．最小值为-3，无最大值
C．最小值为-3，最大值为9 D．最小值为，无最大值

7．一个几何体的三视图如图所示，
则这个几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．

8．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同
学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若
每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同
学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 （ ）
A．72 B．108 C．180 D．216
9．已知函数，给出下列四个说法：
①若，则； ②的最小正周期是2π；
③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．
其中正确说法的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在△中，=2，∠=120°，则以A，B为焦点且过点的双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
11．过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若，则抛物线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数满足，当时，，
则 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线平行，则实数的值为 ．

14．某地为了了解地区10000户家庭的用电情况，
采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月均
用电量，并根据这500户家庭的月均用电量画
20090511
出频率分布直方图（如图），则该地区10000户
家庭中月均用电度数在[70，80]的家庭大约有 户．
15．数列的前10项由如图所示的流程图依次
输出的的值构成，则数列的一个通项公
式= ．
16．曲线y=2sin(x + )cos(x －)和直线y= 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于 ．
三、解答题：
17．（本小题满分12分）
甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、
“迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为
（1）求掷骰子的次数为7的概率；
（2）求的分布列及数学期望E．
18．（本小题满分12分）
是首项的等比数列，其前项和为Sn，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若设为数列的前项和，
求证：

20090511
19．（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，侧面与底面垂直，∠，，且⊥，AA1=A1C．
（1）试判断A1A与平面A1BC是否垂直，并说明理由；
（2）求侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）
已知函数，
（1）设两曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立关于的函数关系式，并求的最大值；
（2）若在（0，4）上为单调函数，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）
已知、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与轴负半轴的交点，且求实数的取值范围．

C
O
B
D
O’
A
.
.
22.（4-1几何证明选讲）（本小题10分）
如图圆O和圆相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD
是圆O的切线，若BC=2，AB=4，求BD.

23、（4-4极坐标与参数方程）（本小题10分）
已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）.
⑴将曲线C的参数方程化为普通方程；
⑵若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长.

24、（4-5不等式选讲）（本小题10分）
设函数.
⑴求不等式的解集；
⑵求函数的最小值.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
CABD CDDC BABD
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．3 14．1200 15． 16．π
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．解：（1）当=7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为因此
= 4分
（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为，向上的点数是偶数出现的次数为n，则由，可得：当
或，时，当，或因此的可能取值是5、7、9 6分
每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是
10分
所以的分布列是：

5
7
9

12分
18．解：设数列的公比为
（1）若，则
显然不成等差数列，与题设条件矛盾，所以≠1 1分
由成等差数列，得
化简得 4分
∴ 5分
（2）解法1： 6分
当≥2时，
10分

=1+ 12分
解法2： 6分
当≥2时，设这里，为待定常数．
则
当n≥2时，易知数列为单调递增数列，所以
可见，n≥2时，
于是，n≥2时，有 10分

=1+ 12分
19．解法一：如图建立空间直角坐标系，
（1）有条件知 1分
由面⊥面ABC，AA1⊥A1C，AA1=A1C，知 2分

∵ ……………3分
∴与不垂直，即AA1与BC不垂直，
∴AA1与平面A1BC不垂直……5分
（2）由ACC1A1为平行四边形，
知==…7分
设平面BB1C1C的法向量，
由
令，则 9分
另外，平面ABC的法向量（0，0，1） 10分

所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为 12分
解法二：（1）取AC中点D，连结A1D，则A1D⊥AC．
又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直，交线为AC，
∵A1D⊥面ABC ………2分
∴A1D⊥BC．
假设AA1与平面A1BC垂直，则A1D⊥BC．
又A1D⊥BC，由线面垂直的判定定理，
BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC，这样在△ABC中
有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．假设不
成立，所以AA1不与平面A1BC垂直………5分
（2）侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角．
过点C作A1C1的垂线CE于E，则CE⊥面A1B1C1，B1C1⊥CE．
过点E作B1C1的垂线EF于F，连结CF．
因为B1C1⊥EF，B1C1⊥CE，所以B1C1⊥面EFC，B1C1⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角 9分
由得
在Rt△ABC中，cos∠
所以，侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为 12分
20．（1）设与在公共点处的切线相同．
．由题意知
即 2分
解得或（舍去，） 4分

可见 7分
（2）
要使在（0，4）上单调，
须在（0，4）上恒成立 8分
在（0，4）上恒成立在（0，4）上恒成立．
而且可为足够小的正数，必有 9分
在（0，4）上恒成立
或 11分
综上，所求的取值范围为，或，或 12分

21．（1）∵点A的坐标为（）
∴，椭圆方程为 ①…1分
又∵，且BC过椭圆M的中心
（0，0），∴ ……2分
又∵∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（，） ……3分
将（，）代入①式得
∴椭圆M的方程为 ……4分
（2）当直线的斜率，直线的方程为
则满足题意的t的取值范围为……5分
当直线的斜率≠0时，设直线的方程为

由得 6分
∵直线与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=
即 ② 8分
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点，则
的横坐标，纵坐标，
D点的坐标为（0，-2）
由，得⊥，，
即即． ③ 11分
∴∴． ④
由②③得，结合④得到 13分
综上所述， 14分

22.（4-1几何证明选讲）如图圆O和圆相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD是圆O的切线，
C
O
B
D
O’
A
.
.
若BC=2，AB=4，求BD.
解答：易证∽…………5分
所以，…………10分

23、（4-4极坐标与参数方程）
已知直线的参数方程为（t为参数），
曲线C的参数方程为（θ为参数）.
⑴将曲线C的参数方程化为普通方程；
⑵若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长.
解答：⑴…………5分
⑵将代入，并整理得
设A，B对应的参数为，，则，
…………10分
24、（4-5不等式选讲）-0.5
4
x
y
设函数.
⑴求不等式的解集；
⑵求函数的最小值.
解答：
⑴①由解得；②解得；
③解得；综上可知不等式的解集为……5分.
⑵如图可知………….10分

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用心 爱心 专心