1、2.5 2.5 夹角的计算夹角的计算1-一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”.（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（
2、化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）2-二、空间二、空间“夹角夹角”问题问题1.异面直线所成角异面直线所成角lmlm若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 ,则则3-1共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角2异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角s1，s2s1，s2|coss1，s2|总结：总结：4-例例1.5-解：解：以点以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如
3、图如图所示，设所示，设 则：则：所以：所以：所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为6-设设n为平面为平面 的法向量，直线的法向量，直线AB与平面与平面 所成的角所成的角为为 ，向量，向量 与与n所成的角为所成的角为 ，则，则ABn2.线面角线面角n平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作作该直线与此平面的夹角该直线与此平面的夹角夹角的范围是夹角的范围是 7-l8-例2.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB求直线SC与底面ABCD的夹角的正弦值解析由题设条件知，以点由题设条件知
4、以点A为坐标原点，为坐标原点，分别以分别以AD、AB、AS所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴，轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系(如图所示如图所示)9-10-将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角。如如图图（2），设设二二面面角角 的大小为的大小为 其中其中AB DCLBA3、二面角、二面角方向方向向量法向量法11-注意法向量的方向：同进同注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角的补角；一进一出，二面角等
5、于法向量夹角等于法向量夹角L 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角.如如图图，向向量量 ，则则二二面面角角 的的大大小小 若二面角若二面角 的大小为的大小为 ,则则法向量法法向量法3、二面角、二面角12-总结：总结：n1，n2n1，n2|cosn1，n2|注意平面夹角与注意平面夹角与二面角的区别二面角的区别13-例例2 正正三三棱棱柱柱 中中，D是是AC的的中点，当中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A114-解解法法一一：如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设底面三角
6、形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设 =1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作作 于于E,于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小在在 中，中，即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为15-由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos =即二面角 的余弦值为 yxzCADBC1B1A1FE16-解法二解法二：同法一，以同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以，可取所以，可取 二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角17-课堂小结：课堂小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围18-
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